Este es el habitual enfrentamiento entre el semi-visión Platónica de la laymathematician y el enfoque fundamental de las matemáticas a través de la teoría de conjuntos.
A menudo es conveniente, cuando se trabaja en "concreto" de las matemáticas, a asumir que no es una sola, fija universo de las matemáticas. Y todos los que se tomaron un curso o dos en lógica y teoría de conjuntos debe ser capaz de decirle a usted que podemos asumir que este universo es en realidad un universo de $\sf ZFC$.
A continuación, hacemos todo lo que hay, y tomamos la noción de "conjunto" como algo primitivo. Los conjuntos no están definidos, son los objetos del universo.
Pero la palabra "conjunto" es sólo una palabra en inglés. La usamos a nombre de este spot, el resumen, el objeto primitivo. Pero, ¿cómo puede usted asegurarse de que mi comprensión intuitiva de "conjunto" es el mismo que el tuyo?
Esto es donde los "axiomas como las definiciones de" entran en juego. Axiomas para definir las reglas básicas de lo que significa ser un conjunto. Por ejemplo, si usted no tiene un juego de poder, no eres un set: porque cada juego tiene un juego de poder. Los axiomas de la teoría de conjuntos definir cuáles son las propiedades básicas de los conjuntos. Y una vez que estamos de acuerdo en una lista de axiomas, estamos muy de acuerdo en una lista de definiciones de lo que significa ser un conjunto. E incluso si nos aferramos establece de manera diferente, todavía podemos estar de acuerdo en algunas propiedades comunes y hacer algo de matemáticas.
Usted puede ver esto en el conjunto de los teóricos que no están de acuerdo acerca de las concepciones filosóficas, y si es o no cierta la conjetura debe ser "verdadero" o "falso", o si la pregunta no tiene sentido debido a la independencia. Es el HOD Conjetura "verdadero", "falso" o es simplemente "comprobable" o "independiente"? Eso es muy distinto a lo que se establece, y diferentes teóricos tendrán diferentes lados de la cuestión. Pero todos estos teóricos han acordado, al menos, que $\sf ZFC$ es una buena manera de definir las propiedades básicas de los conjuntos.
Como hemos tirado de Platón nombre en la mezcla, vamos a hablar un poco acerca de la "esencia". ¿Cómo se puede definir una silla? o de escritorio? Usted no puede realmente definir una silla, porque se ha definido a lo largo de las líneas de "algo que usted puede sentarse en", en cuyo caso habrá cosas que usted puede sentarse en las que no son, ciertamente, sillas (la tierra, por ejemplo, o un árbol); o que se han ejecutado en la circularidad "una silla es una silla es una silla", o simplemente está siendo sin sentido molesto "tio... como... todo es una silla... woah..."
Pero las tres opciones no son buenas maneras de definir una silla. Y, sin embargo, no está desconcertado por esto sobre una base diaria. Esto es debido a que hay una diferencia entre la "esencia" de ser presidente, física y sillas.
Los objetos matemáticos no debe ser tan afortunado. Los objetos matemáticos son abstractas, para empezar. No podemos percibir en una forma tangible, como percibimos las sillas. Tan sólo estamos a la izquierda con algunos ideales definición. Y esta definición debe capturar las propiedades básicas de los conjuntos. Y eso es exactamente lo que los axiomas de la $\sf ZFC$, y cualquier otro que la teoría de conjuntos, están tratando de hacer.
