Frecuencia de los números enteros $x, x+2$ tal que gcd $\left(x(x+2),p\right)=1$

Question

Déjalo:

• $p\ge 5$ sea un primo.
• $p\#$ sea el primorial de $p$ .
• $0 < x < p\#$ sea un número entero.
• gcd $(a,b)$ sea el máximo común divisor de $a$ y $b$ .

Es sencillo demostrar que hay $\prod\limits_{q \text{ is odd prime, }q \le p}(q-2)$ casos de $x$ donde $x < p\#$ y gcd $\left(x(x+2),p\#\right)=1$ :

Caso base: Hay 3 $x$ para $p=5$ que son $\{11, 17, 29\}$

Hipótesis inductiva: Supongamos que es cierto hasta algún primo $p \ge 5$

Caso inductivo:

• Sea $x_1, x_2, \dots x_n$ cumplen esta hipótesis para $p$ de modo que cada $x_i < p\#$ gcd $\left(x_i(x_i+2),p\#\right)=1,$ y $n = \prod\limits_{q\text{ is odd prime, } q \le p}(q-2)$

• Sea $r$ el menor primo mayor que $p$ .

• Cada $x_i, x_i + p\#, x_i + 2p\#, \dots, x_i + (r-1)p\#$ forma un sistema completo de residuos modulo $r$ .

• Así, para cada $x_i$ exactamente $2$ son congruentes con $r$ o $r-2$ . El resto de $r-2$ tendrá la propiedad de que gcd $\left(x_i + up\#)(x_i + up\#+2),r\#\right)=1$ donde $0 \le u \le r-1$ .

• Así, el número de $x$ que tengan la propiedad deseada relativa $r$ es $\left(\prod\limits_{q\text{ is odd prime, }q\le p}(q-2)\right)(r-2) = \prod\limits_{q\text{ is odd prime, }q\le r}(q-2)$

Esta es mi pregunta:

Sea $C_p$ sea el recuento de $x$ tal que:

• $0 <x < p\#$
• gcd $\left(x(x+2),p\#\right)=1$

Estoy interesado en ver si existe un límite para contar el número de $x$ para cada $u$ donde:

• $0 \le u < C_p$
• $u\left(\dfrac{p\#}{C_p}\right) < x \le (u+1)\left(\dfrac{p\#}{C_p}\right)$

Cuando miro $p \le 13$ Estoy descubriendo que este recuento nunca es mayor que $2$ .

¿Se sabe si esto ocurre siempre? ¿Habrá alguna vez un primer $r$ tal que el recuento de un intervalo definido como arriba para $r$ tendría un recuento superior a $2$ ?

Sospecho que es sencillo demostrar que $2$ es el recuento máximo. ¿Me equivoco?

¿Hay algún contraejemplo?

---

Edición: pregunta actualizada para dejar claro que $q > 2$ .

Answer 1

Su declaración y prueba originales actualizadas parecen correctas.

En cuanto a su pregunta principal sobre la distribución de los valores de $x$ donde $\gcd(x(x+2),p\#) = 1$ para varios primos $p$ En primer lugar, explicaré por qué es muy probable que no haya un límite superior para el número máximo de subrangos y, a continuación, daré un ejemplo en el que sí lo hay. $3$ dichos valores.

En primer lugar, utilizando sólo el primer $2$ primos de $2$ y $3$ , $x \equiv 1 \pmod 2$ y $x \equiv 2 \pmod 3$ se combinan para ser $x \equiv 5 \pmod 6$ . Con $p = 5$ El $3$ Los valores de módulo disponibles son $1, 2, 4$ dando que $x \equiv 11, 17, 29 \pmod{30}$ . Puede ver que hay $2$ casos en los que hay $3$ valores dentro de $18$ entre sí, siendo este $11, 17, 29$ y, con envolvente, $29, 41, 47$ .

A continuación, con $p = 7$ El $5$ Los valores de módulo disponibles son $1, 2, 3, 4, 6$ . Tenga en cuenta la $2$ secuencias mencionadas en el párrafo anterior, cuando se consideran modulo $30 \times 7 = 210$ se repetirán $7$ tiempos. Entre ellas $7$ veces, las que se excluirán son aquellas en las que el primer, segundo y/o tercer valor sean congruentes con $0$ o $5$ modulo $7$ . Esto puede ocurrir en el más $3 \times 2 = 6$ veces, lo que significa que cada secuencia se producirá como mínimo $7 - 6 = 1$ veces (salvo en el caso muy poco habitual, que no se da aquí, de que la segunda secuencia sólo tenga $1$ que pasa y es la última por lo que la envolvente pasa de largo $210$ ). Para primos mayores $p$ será un valor multiplicador mínimo mayor de $p - 6$ por lo que estas secuencias de $3$ valores dentro de $18$ entre sí ocurrirá cada vez más a menudo. Basta con que cualquiera de ellos ocurra dentro de un subrango integral de

$$S_p = \frac{p\#}{C_p} = 2\prod_{i=2}^{n}\frac{p_i}{p_i - 2} \tag{1}\label{eq1}$$

donde para $p_i$ , $i$ es el índice primo (por ejemplo, $p_1 = 2, p_2 = 3, \ldots$ ). Obsérvese que $\frac{p_i}{p_i - 2} \gt \frac{p_i}{p_i - 1}$ y la prueba en Producto infinito con primos dado en la respuesta por Milo Brandt muestra el producto de $\frac{p_i}{p_i - 1}$ para $i$ hasta el infinito no tiene límite superior. Este número creciente de secuencias y cada longitud de subrango indica fuertemente que, a menos que haya algún tipo de interacción extraña que lo impida, siempre habrá finalmente al menos un caso de $3$ valores de $x$ que se producen en un subrango. Tenga en cuenta que puede ampliar este argumento para mostrar que también es muy probable que haya instancias de longitud $4, 5, 6, \ldots$ es decir, no hay límite superior.

Para confirmar que hay al menos $2$ subsecuencias en las que $3$ son $18$ aparte módulo $210$ incluso sin utilizar la envoltura, observe que el conjunto de valores es $11, 17, 29, 41, 59, 71, 101, 107, 137, 149, 167, 179, 191, 197, 209$ . En realidad hay $3$ tales secuencias, siendo $11$ a $29$ , $179$ a $197$ y $191$ a $209$ .

En particular, obsérvense los valores de la segunda subsecuencia de $179, 191, 197$ son cada uno el menor de un primo gemelo, por lo que ninguno de ellos será excluido hasta que $p \ge 179$ . Utilización de \eqref {eq1} da que $S_{37} = 34.0511\ldots$ . Con $u = 5$ Esto da $uS_{37} = 170.255\ldots$ y $(u + 1)S_{37} = 204.306\ldots$ mostrando que hay $3$ tal $x$ en este subrango.

Por desgracia, no he aportado una prueba rigurosa de que no exista un límite superior. Creo que, teniendo en cuenta los detalles de cómo se comportan los distintos valores entre sí, al menos sería muy difícil dar una prueba rigurosa. No obstante, basándome en mi razonamiento aquí expuesto, estoy seguro de que no hay límite superior.