Deducir ese$R^kf_*(F \otimes L^{\otimes n})=0$ por un porcentaje suficientemente grande de$n$ de una declaración sobre la cohomología de la gavilla

Question

$\newcommand{\spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\oh}{\mathcal{O}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}}$

Deje $f : X \ra \spec(A)$ ser un proyectiva de morfismos (Hartshorne definición) con $A$ un noetherian anillo y deje $F \in \mathsf{Coh}(X)$. Deje $L$ ser una amplia línea de paquete. Entonces no es $n_0 \geq 0$ tal que $R^kf_*(F \otimes L^{\otimes n})=0$ para todos los $n \geq n_0$ e $k>0$.

En mis notas de clase hemos demostrado que esta demostrando que $F(n) = F \otimes \oh(n)$ no tiene cohomology en positivo grados para $n$ suficientemente grande, es decir, que $H^k(X, F(n))=0$ para $k>0$ e $n$ suficientemente grande (esto es donde la prueba en los apuntes de clase se detiene). Esto es lo que Hartshorne demuestra en p. 228 de su libro, pero la demanda original (Teorema 5.2, p. 228), es que el $H^k(X, F(n))=0$ más que la afirmación sobre la mayor pushforwards $$R^kf_*(F \otimes L^{\otimes n})=0.$$ Me gustaría saber cómo $R^kf_*(F \otimes L^{\otimes n})=0$ siguiente de la fuga cohomology resultado.

He intentado escribir $R^kf_*(F \otimes L^{\otimes n}) = H^k(f_*(I^\bullet))$ donde $I^\bullet$ es un inyectiva resolución de $F \otimes L^{\otimes n}$, pero no veo cómo se relacionan la mayor pushforward a la más global de las secciones functor que es lo que gavilla cohomology es)?

Gracias.

Edit: me he dado cuenta de que mi pregunta es tal vez relacionado con una cuestión que me preguntó hace un par de días que dice que bajo ciertas suposiciones $R^pf_*\mathcal{F} \cong \widetilde{H^p(X, \mathcal{F})}$; uno de estos supuestos es que $X$ es noetherian. Creo que esto está bien - ¿estoy en lo correcto en decir que $\P^r_A$ es noetherian? Tiene una cubierta estándar por cuñados $\mathbb{A}^m$, y cada uno de ellos son noetherian debido a sus asociados los anillos son el polinomio anillos noetherian.

Con todo esto dicho, parece que esto es por qué/cómo podemos hacer una conexión entre pushforwards y global secciones/gavilla cohomology (creo que tal vez deberíamos también tenga en cuenta que la tilde functor $\widetilde{-}$ es exacta), aunque la prueba de $R^pf_*\mathcal{F} \cong \widetilde{H^p(X, \mathcal{F})}$ en mi otra pregunta es más bien técnico, así que me pregunto si hay una manera más sencilla de responder a mi pregunta original?

Para resumir mi edición, es la manera que he descrito arriba, con mi otra pregunta es de hace pocos días de una manera válida de responder a mi pregunta original en este post? Si es válido, es que hay un más rápido/más obvia manera de responder a mi pregunta original?

Gracias de nuevo.

Answer 1

Una frase de respuesta sería buscar Grothendieck complejo y semi-continuidad. Bajo su hipótesis de que hay un número finito de complejo de $A$-proyectiva módulos, $P_.: 0\to P_0\to P_1\to\cdots\to P_n\to 0$ tal que para cualquier $Y\to \mathrm{Spec}\, A$si $g:X\times_A Y\to Y$ es la inducida por la morfismos y $G$ es la tire hacia atrás de $F$ a $X\times_A Y$, $R^kg_*G$ es el $k^{th}$ cohomolgy (como poleas) de los tire hacia atrás de $P_.$ a $Y$.

Ahora, aplicar esto a $F\otimes L^n$ donde $n\gg 0$, por lo que $H^k(X\otimes k(x), F\otimes L^n)=0$ para todos los $x\in X$ y todos los $k>0$. Este dice que el correspondiente $P_.$ es exacta y por lo tanto $R^kf_*(F\otimes L^n)=0$ para todos los $k>0$.