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Pregunta de fracciones continuas (visual)

En la siguiente figura, el rectángulo tiene dimensiones a x b y es de baldosas por las plazas. Esta es la más pequeña posible rectángulo que puede ser distribuidas por las plazas de esta manera.

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a) escribir la continuación de la fracción de $a/b$

b) encontrar el valor de $a+b$

Por favor alguien puede explicar cómo me gustaría romper esto? Por una parte, pienso que $b=6x$

$x=4y$

Por lo $b=24y$

Es esto correcto? Nunca he visto a una pregunta como esta antes.

No sé cómo solucionar esto, por favor alguien puede ayudar? gracias

3voto

Nick G Puntos 56

Para un rectángulo con longitudes de lado $a$ e $b$, con $a\gt b$, en la plaza de la disección de esta forma se puede convertir a una simple continuación de la fracción de $a/b$ contando el número de cuadrados en cada etapa, en la disminución de tamaño, y el uso de los valores en la continuidad de la fracción.

(Nota: una simple continuación de la fracción es uno donde los numeradores son todos los $1$.)

Tenemos:
$\color{red}1\;$ cuadrado blanco
$\color{red}5\;$ gris claro plazas
$\color{red}1\;$ cuadrado negro
$\color{red}4\;$ gris oscuro plazas

Lo que nos lleva a la siguiente continuó la fracción: $$\frac{a}{b} = \color{rojo}1 + \cfrac{1}{\color{rojo}5 + \cfrac{1}{\color{rojo}1 + \cfrac{1}{\color{rojo}4}}}$$

Para calcular el $a$ e $b$ en este ejemplo, es bastante fácil de evaluar la continuación de la fracción:

$$\frac{a}{b} = 1 + \cfrac{1}{5 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4}}} = 1 + \cfrac{1}{5 + \cfrac{1}{\frac{5}{4}}} = 1 + \cfrac{1}{5 + \cfrac{4}{5}} = 1 + \cfrac{1}{\frac{29}{5}} = 1 + \frac{5}{29} = \frac{34}{29}$$

Así que tenemos $a/b = 34/29$, y, por tanto, $a+b=63$.

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