Encontrando $f(x)$ con $\frac{1}{2a}\int_{x-a}^{x+a}f(t)dt=f(x)$

Question

Problema

Dejemos que $f(x)$ sea una función diferenciable con $f(0)=1$ y $f(1)=2$ . Para cualquier $a,x$ donde $a \neq 0$ , se mantiene $$\frac{1}{2a}\int_{x-a}^{x+a}f(t)dt=f(x).$$ Encuentre $f(x)$ .

Intento

Desde $$f(x)=\frac{\displaystyle\int_{x-a}^{x+a}f(t)dt}{2a}$$ es válida para todos los $x \in \mathbb{R}$ y $a \neq 0$ . Se puede arreglar $x$ y tomar el límite como $a \to 0$ . Así, $$\lim_{a \to 0}f(x)=\lim_{a \to 0}\frac{\displaystyle\int_{x-a}^{x+a}f(t)dt}{2a}=\frac{f(x+a)+f(x-a)}{2},$$ donde aplicamos la regla de L'Hopital. Así, $$f(x)=\frac{f(x+a)+f(x-a)}{2}.$$ ¿Cómo seguir adelante?

Answer 1

La respuesta es que $f(x)=1+x$ .

Al diferenciar ambos lados se obtiene $$\frac{f(x+a)-f(x-a)}{2a}=f'(x)$$ y esto es válido para cada $a$ por lo que diferenciando por $a$ : $$(f'(x+a)+f'(x-a))2a-2(f(x+a)-f(x-a))=0$$ Dividiendo por $a$ lo consigues: $$f'(x+a)+f'(x-a)=\frac{f(x+a)-f(x-a)}{a}=2f'(x)$$ Diferenciación por $a$ vuelve a dar $$f''(x+a)-f''(x-a)=0$$ y como $x,a$ son arbitrarios, esto implica que $f''(x)$ es constante. Por lo tanto, $f(x)=\alpha+\beta x+\gamma x^2$ para algunos $\alpha,\beta,\gamma$ . Invocando los datos iniciales deducimos que $f(x)=1+\beta x+(1-\beta)x^2$ para algunos $\beta$ . Integrando alrededor de cero, obtenemos $$1=f(0)=\frac{1}{2a}\int_{-a}^a(1+\beta t+(1-\beta)t^2)\,dt=1-\frac{a^2}{3}(\beta-1)$$ lo que implica que $\beta=1$ por lo que la función $f(x)$ debe ser igual a $1+x$ .

Answer 2

Un poco tarde esta respuesta pero creo que vale la pena mencionarla:

Aplicando la diferenciación con respecto a $a$ a

• $\int_{x-a}^{x+a}f(t)dt=2af(x)$ da $$2f(x) = f(x+a) + f(x-a)$$

$f$ es diferenciable, por lo que diferenciar wrt. $a$ vuelve a dar $$0 = f'(x+a) - f'(x-a)$$

Dado que esto es válido para todos los $a,x \in \mathbb{R}$ también es cierto para $a = x$ : $$f'(2x) = f'(0) \Rightarrow f' = const. \stackrel{f(0)=1,f(1)=2}{\Longrightarrow} f(x) = 1+x$$

Answer 3

Diferenciar para obtener $f'(x)=\frac {f(x+a)-f(x-a)} {2a}$ para todos $x$ y $a$ . Concluya de esto que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(\frac {a+b} 2)$ para todos $a$ y $b$ . Utiliza lo siguiente para completar la solución: Si $f(b)-f(a)=(b-a)f'(\frac{a+b}{2})$ demostrar que cualquier función de este tipo es un polinomio de grado $2$