Mostrar$\alpha_{m+n}\leq \alpha_m\alpha_n$ para una cadena de Markov en un espacio de estado finito

Question

Este problema es de Durrett de la Probabilidad: Teoría y Ejemplos, 5/E, el Ejercicio 5.6.4(o 6.6.3 que en las ediciones anteriores).

---

Para cualquier matriz de transición $p$, definir $$\alpha_n=\sup_{i,j}\frac{1}{2}\sum_k|p^n(i,k)-p^n(j,k)|.$$ The 1/2 is there because for any $i$ and $j$ we can define r.v.'s $X$ and $S$ so that $P(X=k)=p^n(i,k),$ $P(Y=k)=p^n(j,k)$, and $$P(X\neq Y)=(1/2)\sum_k|p^n(i,k)-p^n(j,k)|.$$ Show that $\alpha_{m+n}\leq \alpha_n\alpha_m$.

---

Mi intento: vi por primera vez en esta respuesta, pero me encontré con que el acoplamiento dispuesto en la respuesta no satisface la propiedad que desea. Para un contraejemplo, considere la posibilidad de un espacio de estado con sólo dos estados y en cada transición de probabilidad es 1/2.

Mi instructor proporciona un indicio de que debemos usar la "máxima acoplamiento', el acoplamiento de satisfacciones $P(X\neq Y)=\alpha_n$, pero no tengo idea de cómo construir ese tipo de acoplamiento. He encontrado algunos artículos y notas de la conferencia de tratar con la máxima de acoplamiento, pero yo no podía entender de ellos, ya que se trata con demasiado general de los casos.

¿Alguien tiene ideas?

Gracias de antemano!

Answer 1

Escribir $\| \mu - \nu \|_{TV} := \frac{1}{2}\sum_{i \in S} |\mu(i) - \nu(i)|$ para el total de la variación de la distancia entre dos medidas de $\mu$ e $\nu$ contables en el espacio de estado $S$. Sabemos que los siguientes hechos:

Hecho. Deje $X, Y$ ser RVs con distribuciones marginales $\mu$ e $\nu$ bajo $\mathbf{P}$, respectivamente. Entonces $$ \| \mu - \nu \|_{TV} \leq \mathbf{P}(X \neq Y). $$ Por otra parte, la igualdad puede ser alcanzada por algunos de acoplamiento $(X, Y)$, lo que llamamos un acoplamiento óptimo.

Ahora vamos a $m, n \geq 0$ e $i, j \in S$ , y considerar una probabilidad de ley de $\mathbf{P}$ menores que los siguientes:se

• $(X, Y)$ es un acoplamiento óptimo correspondiente a $\mu(\cdot) = p^m(i, \cdot) $ e $\nu(\cdot) = p^m(j, \cdot)$.

• $\{(\tilde{X}_x, \tilde{Y}_y) : x, y \in S\}$ es una familia de vehículos recreativos, independiente de $(X, Y)$, de tal manera que cada una de las $(\tilde{X}_x, \tilde{Y}_y)$ es un acoplamiento óptimo correspondiente a $\mu(\cdot) = p^n(x, \cdot) $ e $\nu(\cdot) = p^n(y, \cdot)$.

Entonces es fácil comprobar que $\tilde{X}_X$ tiene distribución $p^{m+n}(i,\cdot)$ e $\tilde{Y}_Y$ tiene distribución $p^{m+n}(j, \cdot)$. Así

\begin{align*} \| p^{m+n}(i, \cdot) - p^{m+n}(j, \cdot) \|_{TV} &\leq \mathbf{P}(\tilde{X}_X \neq \tilde{Y}_Y) \\ &= \sum_{x, y \in S} \mathbf{P}(X = x, Y = y) \mathbf{P}(\tilde{X}_x \neq \tilde{Y}_y) \\ &= \sum_{x, y \in S} \mathbf{P}(X = x, Y = y) \| p^n(x, \cdot) - p^n(y, \cdot)\|_{TV} \\ &\leq \sum_{x, y \in S} \mathbf{P}(X = x, Y = y) \alpha_n \mathbf{1}[ x \neq y ] \\ &= \mathbf{P}(X \neq Y) \cdot \alpha_n \\ &\leq \alpha_m \alpha_n. \end{align*}

En el cuarto paso, hemos utilizado el hecho de que $\| p^n(x, \cdot) - p^n(y, \cdot) \|_{TV} \leq \alpha_n$ y es cero si $x = y$. Por último, teniendo supremum más de $i, j \in S$ prueba deseada de la desigualdad.