Nombre de un PDE particular (parabólico)

Question

Considere el siguiente problema de valor inicial: $$ \begin{cases} u(0,x) = u_0(x) & \text{in }\mathbb{R}^n\\ u_t = -[(\Delta)^{-1}u]\Delta u + u^2 & \text{in }(0,\infty) \times \mathbb{R}^n \end{casos} $$ Aquí el operador $\Delta^{-1}$ está dado por $\Delta^{-1} u = a(t,x)$ tal que $\Delta_x a = u$. (para todas las épocas $t$)

Pregunta: ¿hay un nombre para este particular de la ecuación, o una clase de ecuaciones en la que cae? Sé que es una ecuación parabólica, pero no mucho más. Disculpas de antemano si esto parece como una elemental cuestión. También si alguien puede que me señale una introducción de recursos( en el nivel de postgrado) para parabólico de la PDE, que sería bueno: tengo experiencia con ecuaciones elípticas (formulación variacional, la regularidad de la teoría como DeGiorgi Nash, la Viscosidad de las Soluciones), pero soy bastante inexperto cuando se trata de ecuaciones Parabólicas).

Edit: me he dado cuenta es también necesario tener en cuenta la regularidad de $u_0$. Supongamos que $u_0 \geq 0$ e $u_0 \in C^{\infty}_c(\mathbb{R}^n)$ (liso y compacto, compatible).

Según mi profesor, es también el caso de que la cantidad: $$ \int_{\mathbb{R}^n} u(t,x) \mathrm{d}x $$ se conserva (el yo.e constante en el tiempo), y la cantidad: $$ S(t) = \int_{\mathbb{R}^{n}}u(t,x)\log (u(t,x))\mathrm{d}x $$ es una función decreciente del tiempo.

Answer 1

Usted debería considerar la posibilidad de publicar esto en mathoverflow. Nunca he visto una ecuación como esta. Es desagradable. De todos modos, el primer lugar para aprender un poco de parabólico ecuaciones de Evans "ecuaciones diferenciales Parciales".

Una más avanzada (y más difícil de leer) el libro es Lieberman "de Segundo Orden Parabólico Ecuaciones Diferenciales". Está destinado a ser como Gilbarg y Trudinger "Elíptica Ecuaciones Diferenciales Parciales de Segundo Orden", que es un libro clásico en ecuaciones elípticas.

Luego hay un montón de libros muy buenos en resumen la evolución de las ecuaciones (que puede ser de ayuda, dada su ecuación). Un libro clásico es Dautray y los Leones "Las evoluciones de los Problemas", Volumen 5 (así que sí, hay cinco volúmenes, pero son escrito de una manera hermosa y usted puede aprender mucho).

Un libro que podría ser de ayuda para su ecuación es Hu "Blow-up de la teoría de semilinear parabólico de ecuaciones".

Llegando a la ecuación% $$ u_{t}=b\Delta u+u^{2}, $$ este es parabólico si $b(x,t)\geq\delta>0$ para todos los $x,t$. Si $b\geq0$ entonces sería un degenerado ecuación parabólica. Degenerados parabólico ecuaciones son difícil de tratar. Si $b<0$ a continuación, se tienen hacia atrás ecuaciones parabólicas. Estos son desagradables, porque en general no existen soluciones. Si $b$ cambia de signo, a continuación, todo el infierno se rompe suelto. No tengo idea de lo que puede suceder.

En su caso $b=-(\Delta^{-1}u)$ lo que hace que esta ecuación no locales. A determinar el signo de $b$ tienes que utilizar $-\Delta b=u$. Esto significa que usted debe utilizar la principio del máximo para ecuaciones elípticas. El problema es que no funciona bien en delimitada dominios, pero están en $\mathbb{R}^{n}$, donde puede fallar. Su mejor la apuesta es la de asumir que una buena hipótesis en $u_{0}$ de tal manera $-\Delta b_{0}=u_{0}$ implies that $b_{0}(x)\geq\delta>0$. Entonces usted puede intentar encontrar una solución a su problema de $[0,T]$ e $T$ muy pequeño. No sé.

Ahora, en el caso en que $b(x,t)\geq\delta>0$, entonces la ecuación $u_{t}=b\Delta u+u^{2}$ es un semilinear ecuación parabólica. Cuando $b=1$ ha sido estudiado por Fujita. Usted encontrará un capítulo en el libro de Hu "Blow-up la teoría de semilinear parabólico ecuaciones" (véase la Sección 5.4). Dependiendo del valor de $n$y $u_{0}$ usted podría tener existencia global o blow-up de soluciones.

En conclusión, la ecuación no es estándar. Yo no creo que eso tiene un nombre. Tal vez "no locales semilinear de ecuaciones de tipo parabólico". De dónde vino a partir de?

De todos modos, trate de matemáticas de desbordamiento. Usted puede encontrar expertos en ecuaciones parabólicas. Estoy no uno.