¿Por qué la ecuación de Schrödinger funciona tan bien para el átomo de hidrógeno a pesar de la frontera relativista en el núcleo?

Question

Me han enseñado que las condiciones de frontera son tan importantes como la ecuación diferencial de sí mismo cuando de problemas reales, problemas físicos.

Cuando la ecuación de Schrödinger se aplica a la idealizada átomo de hidrógeno es separable y las condiciones de contorno se aplican a la componente radial. Estoy preocupado por la $r=0$ límite cerca del núcleo. Cerca de el protón, el electrón la energía cinética será relativista y mirando a la ecuación de Schrödinger en sí de cómo este límite debe comportarse parece peligroso debido a su energía cinética término es sólo un no-relativista aproximación.

Hay alguna intuición física o de matemáticas, que puedo mirar eso debería hacer que me sintiera cómoda con la condición de contorno en esta región?

Answer 1

En la resolución de la Schroedinger radial de la ecuación no es la condición de límite aplicado a $r=0$. En $r=\infty$ sí, $R(r)$ debe tender a cero, por lo que rechazamos el positivo de la solución exponencial; cualquier cambio en el que tendría enormes consecuencias. Pero no hay ninguna restricción establecidas en $R(r)$ o, de hecho, $R'(r)$ como $r \to 0$.

Entonces, no hay un cambio en la condición de contorno. Hay un cambio en la cinética y la energía potencial debido a efectos relativistas y el hecho de que el protón no es un punto de carga. Estos tienen un efecto -, pero muy pequeño, como el volumen en cuestión es acerca de $10^{-15}$ del volumen del átomo. (En realidad atómica físicos experimentos pueden detectar estos efectos, al menos para la gran $Z$ átomos, gracias a algunos muy inteligentes y precisos experimentos de óptica.) Pero este es un efecto pequeño, no es el juego de cambiador de que una nueva condición de contorno podría dar.

Answer 2

Buena pregunta. Su afirmación de que

cerca del protón, el electrón la energía cinética será relativista

no es tan sencillo como podría parecer. El electrón la energía cinética $\langle \hat{T} \rangle = \langle \hat{p}^2 \rangle / (2m)$ es una cantidad no locales que pueden ser de forma equivalente, expresado como cualquiera de las dos integrales

$$\langle \hat{T} \rangle = \frac{1}{2m} \int d^3x\ \psi^*(x) \left(-\hbar^2 \nabla^2 \right) \psi(x) = \frac{1}{2m} \int d^3x\ |\hbar\, {\bf \nabla} \psi(x)|^ 2.$$

Así que la energía cinética del electrón "en" un lugar en particular no está bien definida; podría ser el valor de cualquiera de los dos integrands arriba en ese punto (o, de hecho, de cualquier otro integrando que se integra con el mismo valor a lo largo del todo el espacio).

La última expresión es la más natural, aunque, porque, al menos, es positivo-semidefinite. Todavía tenemos el problema de que $\hbar^2 |\nabla \psi(0)|^2/(2m)$ es una "energía cinética de la densidad" (sea lo que sea) en lugar de una energía cinética, por lo que no podemos hablar de cómo relativista del electrón es "en" el núcleo. (Podríamos integrar sobre el empírica tamaño del núcleo, pero no creo que realmente lo que su pregunta es llegar a - no estás preguntando sobre cuando el electrón es, literalmente, en el interior del núcleo, pero cuando está lo suficientemente cerca como para el potencial de centro que de forma intuitiva se mueve muy rápidamente.)

Pero nada de esto importa realmente - el punto es que, dado que el integrando es positivo-definida, la contribución de la energía cinética más de una región en particular, es siempre menor que (o igual a) la energía cinética total sobre cada región. Así de manera significativa comprobar si los efectos relativistas necesitan ser tomadas en cuenta, es necesario calcular la energía cinética total sobre todo el espacio. Este resulta ser $\hbar^2/(2m a^2) = m e^4/(2 \hbar^2) = (\alpha^2 /2) m c^2$, donde $\alpha$ es la estructura fina constante. Efectos relativistas son insignificantes si la energía cinética es mucho menor que la de los electrones del resto de la energía, que corresponde a la condición de que $\alpha^2/2 = 1/37538 \ll 1$, que, de modo tranquilizador, es cierto.

Answer 3

Las condiciones de contorno que recoger el hidrógeno funciones de onda son las "limitaciones" colocado en la función de onda de soluciones. Recuerde que el observable es la distribución de probabilidad de la $Ψ^*Ψ$, no un lugar en particular. Por favor, lea el enlace. Las soluciones están dentro de la mecánica cuántica postulas, después de todo.

No hay ningún relativista de la condición de límite, porque no hay órbitas, sólo las distribuciones de probabilidad.

Por lo tanto las soluciones no tienen una singularidad en r=0, y, en general, hay una pequeña probabilidad de encontrar el electrón en el origen, si los números cuánticos permiten una interacción, como con captura de electrones en el núcleo. Para el átomo de hidrógeno no hay suficiente energía para un neutrón a aparecer.

Answer 4

La condición de contorno en r=0 es que la función de onda debe ser finito. La ecuación de Schrödinger para el hidrógeno de la UC átomos y probablemente todos los átomos tiene soluciones con negativo $\cal l$, que son rechazadas debido a que difieren en r=0. Véase, por ejemplo, de Schiff libro de texto sobre mecánica cuántica.

Como para efectos relativistas, es posible que desee comparar la energía de hidrógeno expresiones de Dirac, mejor, de Klein-Gordon - spin, y Schrödinger. Echa un vistazo a otra gran texto, Itzykson y Zuber, para estos .