Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo y $|R|=30$. Si $I$ es un ideal de $R$ e $|I|=10$, demuestran que, a $I$ es máxima ideal

Question

Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo y $|R|=30$. Si $I$ es un ideal de $R$ e $|I|=10$, demuestran que, a $I$ es máxima ideal

Solución: $|R/I|=3 \implies R/I \approx Z_3$ que es un campo.

Si $R$ es un anillo conmutativo con unidad y $I$ es un ideal, entonces $R/I$ es un campo si y sólo si $I$ es un ideal maximal. Por lo tanto, en este problema, $I$ es un ideal maximal iff $R$ contiene una unidad.

¿Cómo podemos demostrar que $R$ debe contener una unidad?

Sé que es finita y conmutativa anillo sin divisores de cero definitivamente contiene una unidad. Pero, a continuación, $R$ no ha sido declarado a no contener cero divisores de cualquiera.

Gracias por su ayuda..

Answer 1

El ideal de $I$ es máxima debido a $R/I$ es simple.

Answer 2

Deje $x \in R-I$. Considerar el ideal de $J=\langle I, x \rangle$. Observar que $|J|>10$. Además de que este debe ser un subgrupo de $R$ pero basado en Lagrange su orden debe dividir $30$. Pero $I \leq J$ así, por lo tanto, $10$ divide $|J|$. Por lo tanto $J=R$, por lo tanto $I$ es máxima.