Demostrar que los ángulos de satisfacer $x+y=z$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $x+y=z$ en la figura, sin el uso de la trigonometría? He tratado de resolverlo con geometría analítica, pero no funciona para mí.

Answer 1

(Este espacio se dejó intencionalmente en blanco.)

Answer 2

Sugerencia: denota los puntos como en la imagen de abajo, triángulos $EGD$ e $DGF$ son similares (por qué?).

Answer 3

Vamos $X$, $Y$, y $Z$ ser los vértices de los ángulos $x$, $y$, y $z$, respectivamente. También, vamos a $P$ común será la intersección de las líneas rojas. Mostrar que $ZP^2=ZX\cdot ZY$. Por lo tanto, la circunferencia circunscrita del triángulo $PXY$ es tangente a $PZ$ a $P$. Esto va a demostrar que $\angle YPZ=\angle YXP=x$.

Answer 4

Equivalentemente, usted tiene que demostrar que $$\underbrace{\mathrm{arctan}(1/3)}_{x}+\underbrace{\mathrm{arctan}(1/2)}_{y}=\underbrace{\mathrm{arctan}(1)}_{z}.$$ Esto es bastante claro por la adición de las tangentes, de hecho $$\tan(x+y)=\frac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}=1 \implica que x+y=\frac{\pi}{4}.$$

Answer 5

Imagina que todas las plazas son de 1 por 1 y por lo que el rectángulo tiene de base 3 y altura de $1$.

Hay tres triángulos rectángulos en el diagrama. El uno con el ángulo de $x$ tiene base 3 y altura 1. El triángulo con ángulo de $y$ tiene base 2 y altura 1. El triángulo con ángulo de $z$ tiene base 1 y altura 1.

Usando el estándar de trig' relación de $\tan \theta = \frac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}$, obtenemos $\tan x = \frac{1}{3}$, $\tan y = \frac{1}{2}$ y $\tan z= \frac{1}{1}=1$.

No hay un bien conoce la fórmula para la suma de ángulos:

$$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$$

La aplicación de esta fórmula para el caso de $\alpha =x$ e $\beta = y$ le da: $$\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1-\tan x \tan y}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}=1$$ De ello se desprende que $\tan(x+y)=\tan z$. Desde $0^{\circ} < x<y<z < 90^{\circ}$ se sigue que $$\tan(x+y) = \tan z \iff x+y = z$$