Prueba de que la topología uniforme en $R^J$ es más gruesa que la topología de caja

Question

Estaba leyendo "Topología" de Munkres y en la sección de topología métrica he encontrado una demostración de por qué topología uniforme en $R^J$ es más gruesa que la topología de cajas. El argumento es el siguiente : Si $B$ es un $\epsilon$ -bola centrada en $x$ entonces el barrio de la caja $$\prod (x_\alpha - \frac{1}{2}\epsilon , x_\alpha + \frac{1}{2}\epsilon)$$ se encuentra en $B$ . Simplemente no me quedó claro por qué el autor eligió $\frac{1}{2}\epsilon$ y no cualquier otro multiplicador. ¿Puede ser también $\frac{7}{8}\epsilon$ o cualquier número $\gamma\epsilon$ donde $|\gamma|<1$ ?

Answer 1

Sí, para cualquier $\delta\in(0,\epsilon)$ obtienes $$\prod_\alpha(x_\alpha-\delta,x_\alpha+\delta)\subseteq B\;.$$ Un error común es intentar utilizar $\delta=\epsilon$ (o en sus términos $\gamma=1$ ), pero la caja abierta resultante contiene puntos a distancia $epsilon$ de $x$ : está contenida en la bola cerrada de radio $\epsilon$ pero no en $B$ .