¿Ejemplo de álgebra de Lie no abeliana bidimensional?

Question

¿Puede alguien darme un ejemplo de álgebra de Lie no abeliana bidimensional?

Answer 1

Esto es algo fácil de llegar con: tomar una base $\{X,Y\}$ de su espacio. Entonces no abelian $[X,Y]$ tiene que ser distinto de cero. Así que trate de $[X,Y] = X$. Es sencillo verificar que este cumple los axiomas de una Mentira álgebra. Con un poco más de trabajo puede demostrar que este es el único (hasta el isomorfismo) de dos dimensiones no abelian Mentira álgebra.

Esta Mentira álgebra tiene una interpretación geométrica como la Mentira de álgebra de transformaciones afines de la recta real, es decir, todos los mapas $\mathbb R \to \mathbb R$ de la forma $x \mapsto ax + b$, $a,b \in \mathbb R$.

Answer 2

Deje que $ X = \begin{bmatrix} a&b\\0&0 \end {bmatrix}$ and $ Y = \begin{bmatrix} x&y\\0&0 \end {bmatrix}$. Furthermore, let the Lie bracket be the matrix commutator: $ [X, Y]: = XY-YX $. Obtenemos $ XY = \begin{bmatrix} ax&ay\\0&0 \end {bmatrix}$, but $ YX = \begin{bmatrix} ax&bx\\0&0 \end {bmatrix} $.

(Esa es la álgebra de mentiras del grupo afín mencionado por Eric).