Integral complejo en una elipse alrededor de$\frac{1}{z}$

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Dado $a,b>0$, definir la ruta de $\gamma$ cuya imagen es una elipse. $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$$ traced counterclockwise. By showing that $\int_{\gamma}z^{-1}dz = \int_{\gamma}z^{-1}dz$ para un adecuado círculo muestran que $$\int_0^{2\pi}\frac{1}{a^2\cos^2{t}+b^2\sin^2{t}}dt=\frac{2\pi}{ab}$$

Intento 1: Supongamos $\gamma(t)= a \cos(t) + ib\sin(t)$ entonces obtendremos $$\int_0^{2\pi}\frac{-a \sin(t) + ib\cos(t)}{a \cos(t) + ib\sin(t)}dt$$ Me canse racionalizar el numerador, pero terminan con $a^2+b^2$ en el numerador y un desastre en el denominador. Así que yo soy incapaz de obtener el lado izquierdo.

Intento 2: Reconocer $$\int_{\gamma}\frac{1}{z}=\int\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)}dt=\int\frac{\partial}{\partial t}\log(\gamma(t))dt$$ so that $$\frac{\partial}{\partial t}\log(\gamma(t)) = \frac{1}{a^2\cos^2{t}+b^2\sin^2{t}}$$ La integración en $t$ y exponentiating a resolver para $\gamma$ da un lío. No se reducen. Creo que aquí, hay también tal vez un problema de cortes de ramas que no he considerado cuidadosamente.

También reconozco que el denominador factores: $(a \cos(t) + ib\sin(t))(a \cos(t) - ib\sin(t))$ no he sido capaz de utilizar esta información, aunque.

Alguna idea? Gracias!

Answer 1

Usted debe racionalizar el denominador, no el numerador. Usted tiene $$\begin{align} \int_0^{2\pi}\frac{-a \sin t + ib\cos t }{a \cos t + ib\sin t }dt &=\int_0^{2\pi}\frac{(-a \sin t + ib\cos t )(a\cos t-ib\sin t)}{a^2\cos^2t+b^2\sin^2t}dt\\ \ \\ &=\int_0^{2\pi}\frac{(-a^2+b^2)\sin t\cos t+iab}{a^2\cos^2t+b^2\sin^2t}dt\\ \ \\ \end{align}$$ Ahora es el momento para utilizar la sugerencia: esta integral será igual a $\int_{\gamma'}\frac1z\,dz$ si $\gamma'$ es lo suficientemente pequeño y rodea el origen. Así que tome $\gamma'$ a un pequeño círculo de radio $r$, y calcular (fácilmente) que $\int_{\gamma'}\frac1z\,dz=2\pi i$.

Como ambas integrales debe ser igual (porque la combinación de ambos se delimita una región en donde la $1/z$ es analítica), se obtiene $$\int_0^{2\pi}\frac{(-a^2+b^2)\sen t\cos t+iab}{a^2\cos^2+b^2\sin^2t}dt=2\pi i.$$ Esto nos dice que la parte real en el lado izquierdo es igual a cero. La comparación de las piezas imaginarias, se obtiene $$\int_0^{2\pi}\frac{ab}{a^2\cos^2+b^2\sin^2t}dt=2\pi.$$