Ejemplo de una función discontinua y limitada para el caso límite$W^{1,n}$

Question

Deje que$\Omega = B(0,1)$ sea el disco de unidad abierta en$\mathbb{R}^2$. Estoy buscando un ejemplo de una función discontinua y limitada en$W^{1,2}(\Omega)$.

Conozco el ejemplo$u(x) = \log \left( \log \left(1 + \frac{1}{|x|}\right)\right)$ de una función discontinua pero sin límites en$W^{1,2}(\Omega)$. He intentado jugar con cosas como$(x,y) \mapsto \frac{x}{(x^2 + y^2)^{1/2}}$ pero no me ha llevado muy lejos. ¡Cualquier información sobre cómo probar y construir tales ejemplos y cómo esperar que se comporten tales funciones sería muy bienvenida!

Answer 1

Se puede obtener un ejemplo con solo componer la función$u(x,y)$ con la función$f(x) = \sin(x)$. Por alguna variante de una regla de cadena para las funciones de Sobolev, una composición de función en$u \in W^{1,p}(\Omega)$ con una función$f \in C^1_B(\mathbb{R})$ resulta en una función en$W^{1,p}(\Omega)$. Elegir para$f(x)$ una función limitada que no tiene un límite cuando$x \rightarrow \infty$ y componerla con un$u$ #% ilimitado da el ejemplo requerido.

Por supuesto, la pertenencia de$f \circ u$ a$W^{1,2}(\Omega)$ se puede verificar fácilmente directamente.