Calcule$\int_0^1 f(x) dx$, donde$f(x)= \begin{cases} 0 & x= x\in C \\ \frac{2}{7^n} & x= x\not \in C \end{cases}$, con$C$ el conjunto de Cantor.

Question

Estoy mirando hacia atrás en las notas, y los problemas del semestre, y me encontré con este problema que estoy teniendo problemas para resolver.

Deje que $$f(x)= \begin{cases} 0 & x= x\in C \\ \dfrac{2}{7^n} & x= x\not \in C \end{casos}$$

Donde $C$ es el conjunto de cantor, y $n$ es sinónimo de $x$ siendo eliminado en la $n$th tiempo desde el conjunto de Cantor.

donde $f:[0,1]\to \mathbb{R}$. Encontrar $\int_0^1 f(x) dx$.

Estoy teniendo un momento difícil el Cálculo de este. Cualquier ayuda se agradece. Principalmente estoy teniendo problemas para entender cómo hacer esto, debido a que el conjunto de Cantor me da problemas.

Answer 1

En la etapa$n$, la medida del conjunto restante (para generar el conjunto de Cantor) es $$\mu(T_n) = \left( \frac{2}{3} \right)^n$ $. Entonces, la parte del complemento que se integrará con el valor$2/7^n$ es$$ \mu(T_{n-1}) - \mu(T_n)= \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} - \left( \frac{2}{3} \right)^{n} = \frac{2^{n-1}}{3^n} Entonces su integral (sobre el complemento del conjunto de Cantor) es solo$$\sum_{n=1}^\infty\left( \frac{2}{7^n} \right)\frac{2^{n-1}}{3^n} = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{3^n7^n} = \frac{1}{1 - 2/21} - 1 = \frac{2}{19}