¿Zariski denso implica clásicamente denso?

Question

Yo estaba sorprendido de que yo no era capaz de encontrar esta pregunta ya publicado; si ha sido publicado y yo simplemente no encontrar el derecho de los términos de búsqueda, hágamelo saber.

Deje $X$ ser cualquier compleja variedad. A priori, cualquier conjunto que es densa en el clásico de la topología en $X$ es automáticamente densa en la topología de Zariski en $X$, sólo porque la topología de Zariski tiene menos abierto/cerrado conjuntos.

Por el contrario, esta pregunta, aunque distintos, no arrojar algo de luz: en $\mathbb A_{\mathbb C}^1$, cualquier subconjunto infinito es Zariski densa, pero ciertamente no necesariamente clásico denso.

Pero en mi experiencia, parece que cualquier abierto Zariski subconjunto de $X$ que es Zariski denso es también clásico denso. ¿Es esto cierto? ¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

Que $T$ sea un subconjunto localmente construible de un finito tipo $\mathbb C$-esquema $X$. (Puede tomar $T$ a ser un (Zariski) abierto de una variedad algebraica compleja, por ejemplo.)

Entonces $T$ es densa en $X$ si y solamente si es denso en $T(\mathbb C)$ $X(\mathbb C)$. Una referencia para esto es exponer XII, Cor 2,3 pág. 243 de SGA 1.

http://arXiv.org/pdf/Math/0206203v2.pdf

Answer 2

Vamos a empezar con el afín caso:

La reclamación. Si $A\subsetneq\mathbb A^n_{\mathbb C}$ es algebraica, entonces su complemento es densa.

Prueba. Deje $A=\{\,x\in\mathbb A^n\mid \forall f\in S\colon f(x)=0\,\}$ cuando la $S\subseteq \mathbb C[X_1,\ldots, X_n]$. Para $a\in A$ tenemos para exponer los puntos de cerca a $a$ que $\notin A$. Pick $b\in\mathbb A^n\setminus A$ y $f\in S$ $f(b)\ne 0$. Entonces el polinomio $g(T)=f(a+(b-a)T)\in\mathbb C[T]$ no es el polinomio cero. De ahí su raíz en $0$ es aislado y por lo $g(h)\ne 0$ para todos lo suficientemente pequeño distinto de cero $h$. A continuación, $a+h(b-a)\notin A$ tales $h$, mostrando la reclamación. $_\square$

La extensión a la proyectiva caso y, a continuación, a la local quasiprojective caso debe ser claro