¿Qué tan útiles son las hipótesis lineales?

Question

En un modelo lineal $Y=X\beta + \varepsilon$, uno puede fácilmente lineal de la prueba de hipótesis de la forma $H_0: C\beta = \gamma, $ donde $C$ es una matriz y $\gamma$ es un vector con dimensión igual al número de filas en $C$. Es decir, se puede derivar un estadístico de prueba que tiene una distribución F bajo el nulo e ir de allí.

Teóricamente, estas pruebas son muy interesantes para mí y me parecen bastante flexible, como $C$ e $\gamma$ puede ser cualquier cosa.

Sin embargo, me interesa saber lo útil que estas hipótesis son, en la práctica, las aplicaciones y ¿cuáles son algunos ejemplos interesantes de estas aplicaciones? (además de probar si un único coeficiente es 0 o todos los coeficientes del modelo son cero, que se incluye en cada lm llamada en R, por ejemplo)

Answer 1

Estos lineal hipótesis sobre el coeficiente del vector tiene tres usos principales:

• Las pruebas de la existencia de relaciones: se puede probar la existencia de relaciones entre un subconjunto de las variables explicativas y la variable de respuesta. Para ello, vamos a $\mathbf{e}_\mathcal{S}$ denotar el indicador de vector para el subconjunto $\mathcal{S}$ y la prueba de la hipótesis lineal:

$$H_0: \mathbf{e}_\mathcal{S} \boldsymbol{\beta} = 0 \quad \quad \quad H_A: \mathbf{e}_\mathcal{S} \boldsymbol{\beta} \neq 0.$$

• Las pruebas de una magnitud especificada por la relación: se puede probar la magnitud de una relación entre las variables explicativas y la variable de respuesta utilizando un valor específico de interés. Esto es a menudo útil cuando una determinada magnitud especificada tiene cierta importancia en la práctica (por ejemplo, a menudo es útil para probar si el verdadero coeficiente es igual a uno). A prueba de $\beta_k = b$ utilizamos la hipótesis lineal:

$$H_0: \mathbf{e}_k \boldsymbol{\beta} = b \quad \quad \quad H_A: \mathbf{e}_k \boldsymbol{\beta} \neq b.$$

• Las pruebas de las respuestas esperadas de las nuevas variables explicativas: podemos probar los valores valores esperados de las respuestas correspondientes a un nuevo conjunto de variables explicativas. La adopción de nuevos datos explicativos $\boldsymbol{X}_\text{new}$ obtenemos los correspondientes valores esperados $\mathbb{E}(\boldsymbol{Y}_\text{new}) = \boldsymbol{X}_\text{new} \boldsymbol{\beta}$. Esto significa que podemos probar la hipótesis de $\mathbb{E}(\boldsymbol{Y}_\text{new}) = \boldsymbol{y} $ a través de la hipótesis:

$$H_0: \boldsymbol{X}_\text{new} \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{y} \quad \quad \quad H_A: \boldsymbol{X}_\text{new} \boldsymbol{\beta} \neq \boldsymbol{y}.$$

Como se puede ver, el primer uso es para comprobar si algunos de los coeficientes son cero, que es una prueba de si dichas variables explicativas relacionadas con la respuesta en el modelo. Sin embargo, también puede realizar más general de las pruebas de una magnitud específica de la relación. También puede utilizar el lineal a una prueba a la espera de respuesta para los nuevos datos.

Answer 2

Cuando se ajuste a un modelo lineal, la estadística de los softwares de darle el punto de estimación, el intervalo de confianza de la estadística de prueba, y los p-valores de la $\beta$_s. Si son sólo interesante en estos $\beta$s, usted puede parar aquí (por ejemplo, la regresión lineal simple sólo hay que interceptar y una pendiente, por lo $\beta$s mismos son suficientes). Pero por poco complicado modelo, usted no está satisfecho por $\beta$s, y que queremos estimar, prueba las combinaciones lineales de $\beta$s. En este momento la importancia de La C matriz es obvio. Para el complicado modelo, tales como el modelo con interacciones, C de la matriz debe ser construido.

Ejemplo 1: Para el análisis de la VARIANZA, una categórica covariable tiene 3 nivel. Supongamos que el nivel 1 es de referencia. Dos $\beta$ le dará a usted la diferencia entre el nivel 2 vs 1 y el nivel 3 vs 1. Si desea que la diferencia entre el nivel 2 y 3, usted necesita C de la matriz (0 1 -1). (el primer 0 es para interceptar). Si desea estimar los medios para el nivel 3, C=(1 0 1) es necesario.

Ejemplo 2: Si usted desea a la hipótesis múltiple simultáneamente, ver las Pruebas de la general de la hipótesis lineal: $H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = \beta$. Aquí T=C.

Ejemplo 3: Si las interacciones que existen, tenemos que tener la relación lineal para cada combinación (celda) de la interacción. Aquí es de 16x16 C de la matriz para obtener 8 interceptos y pendientes. Cómo entender los coeficientes de una interacción de tres vías en una regresión?

Usted puede encontrar más ejemplo, en la internet, los libros de texto.

En resumen, para el modelo lineal, la construcción C de la matriz es igual a la mitad de la teoría de la modelo lineal.