¿Cambia el espectro en un sub álgebra máximo?

Question

¿Alguien puede ayudarme a resolver el siguiente problema.

Sabemos si$B$ es un subálgebra unital de un álgebra de Banach unital$A$ y si$a\in B$, entonces$\sigma _{A}[a] \subset \sigma _{B}[a] $ (Aquí$\sigma _{T}$ denota el espectro con respecto al álgebra$T$). ¿Qué sucede si elegimos$B$ como un subalgebra máximo? ¿Podemos decir que el espectro correspondiente será igual?

Answer 1

No puedo decir mucho sobre el caso solicitado, ya que conozco muy pocos ejemplos de subalgebras máximas que no son C$^*$ - subalgebras (y éstas conservan el espectro). El caso que es fácil es el caso donde$B$ es abelian máximo. En ese caso, si$\lambda\in\rho_A[a]$, entonces existe$c\in A$ con$c(a-\lambda 1)=1$. Para cualquier$x\in B$, tenemos $$ xc = c (a- \ lambda 1) xc = cx (a- \ lambda 1) c = cx, $$ así que$c$ conmuta con cada$x\in B$ y entonces $c\in B$. Esto muestra que$\lambda\in\rho_B[a]$, es decir,$\rho_A[a]\subset\rho_B[a]$, o$\sigma_B[a]\subset\sigma_A[a]$.