Para demostrar o refutar la existencia de una función continua en $\mathbb{R}$ que satisface la condición dada.

Question

Demostrar o refutar:

Existe una función continua $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface la siguiente propiedad:

Para cada $x\in \mathbb{R}$ , $f(x)$ es racional si y sólo si $f(x+1)$ es irracional.

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Puedo demostrar que dicha función no existe si se añade la condición adicional de diferenciabilidad. Pero no estoy seguro de cómo hacerlo de otra manera. Mi modo de ataque actual es utilizar el argumento de la incontabilidad de los irracionales frente a la contabilidad de los racionales, pero es inútil. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Supongamos que $f$ existe, entonces $g(x) = f(x) + f(x + 1)$ es continua pero $g(\mathbb{R}) \subseteq \mathbb{Q}^c$ . Así que $g$ es una función constante. Denotemos $g(x) = c \ (x \in \mathbb{R})$ .

Es evidente que $f$ no es una función constante. Supongamos que $a, b \in f(\mathbb{R})$ y $a < b$ . Tenga en cuenta que $f$ es continua, entonces $\mathbb{Q}^c \cap [a, b] \subseteq [a, b] \subseteq f(\mathbb{R})$ . Así, para cualquier $c' \in \mathbb{Q}^c \cap [a, b]$ , hay $c - c' \in \mathbb{Q}$ , lo que implica $\mathbb{Q}^c \cap [a, b]$ es un conjunto contable, una contradicción.

Answer 2

Desde $f(x+1)-f(x)$ es continua y sólo toma valores irracionales, es una función constante; es decir, hay un número irracional $c$ tal que $f(x+1)-f(x)=c$ para todos $x.$ Sin embargo, si elegimos $a$ para que $f(a)$ es racional, entonces $2c=f(a+2)-f(a)$ es racional. ¡Contradicción!

Answer 3

Supongamos que dicha función existe. $f(x_1)$ sea racional, entonces $f(x_1 + 1)$ tiene que ser irracional y $f(x_1+2)$ debe ser racional. Por I.V.P todos los números irracionales entre $f(x_1)$ y $f(x_1 + 1)$ debe lograrse entre $x_1$ y $x_1+1$ , lo que implica puntos incontables (también densos) entre $x_1+1$ y $x_1+2$ debe alcanzar números racionales, lo que implica que algún número racional fue alcanzado un número infinito de veces en un intervalo compacto. pero dado que la función es continua, esto puede ocurrir sólo si ese valor se alcanza en un intervalo, lo que implica que todos los puntos en ese intervalo que tenían que tener una imagen irracional ( ¡¿por qué?!), fueron mapeados a un número racional. De ahí una contradicción.