Raíces características de una matriz

Question

Tengo una pregunta de álgebra lineal que necesito entender durante las vacaciones.

Si $A$ es una matriz cuadrada sobre $\mathbb C$ y $A^n=I$, ¿por qué cada raíz característica de $A$ es una raíz $n$-ésima de $1$ en $\mathbb C$?

He aprendido qué es una raíz característica de una matriz (una raíz del determinante de $XI-A)$ pero realmente no sé qué hacer a continuación. ¿Alguien me puede ayudar por favor??

¡Gracias!

Answer 1

Más generalmente, si $p$ es un polinomio y $\lambda$ es una raíz característica de $A$, entonces $p(\lambda)$ es una raíz característica de $p(A)$. Una forma de ver esto es que podemos escribir el polinomio $p(x)$ como $p(\lambda) + g(x) (x - \lambda)$ para algún polinomio $g(x)$ (es decir, $p(x) - p(\lambda)$ es divisible por $x - \lambda$), y luego $p(A) = p(\lambda) I + g(A) (A - \lambda I)'. Así que $p(A) - p(\lambda) I = g(A) (A - \lambda I)$ debe ser singular (si quieres entender esto en términos de determinantes, $\det(p(A) - p(\lambda) I) = \det(g(A)) \det(A - \lambda I) = 0$), lo cual dice que $p(\lambda)$ es una raíz característica de $p(A)

Ahora en tu caso $p(x) = x^n - 1$, y $p(A) = 0$. La única raíz característica de la matriz $0$ es $0$, así que para cada raíz característica $\lambda$ de $A$ debemos tener $p(\lambda) = 0$.

Answer 2

Si $\lambda$ es una raíz característica de $A$, existe $x\neq 0$ tal que $Ax=\lambda x$. Por lo tanto, tenemos $A^2x=A(\lambda x)=\lambda Ax=\lambda^2x$, y mediante inducción sobre $p$, $A^px=\lambda^px$ para cada entero positivo $p$. En particular, para $p=n$, obtenemos $A^nx=\lambda^nx$, por lo tanto, $x=\lambda^nx$. Dado que $x\neq 0$, $\lambda$ es necesariamente una raíz n-ésima de la unidad.

Answer 3

Por definición, la matriz $A$ satisface la ecuación polinómica $X^n = 1$ (donde $I$ es $1$ para matrices). Cada vez que una matriz satisface una ecuación polinómica donde $1$ se considera como $I$, las raíces características de $A$ deben cumplir la misma ecuación polinómica. Por lo tanto, $\lambda^n = 1$ para cada raíz característica.