La energía en el principio dinámico variacional

Question

En la mecánica cuántica utilizamos el principio variacional para encontrar la expresión aproximada del estado básico. Supongamos que nuestra función de onda de la sonda $|\Psi\rangle$ puede expandirse en base ortonormal $$|\Psi\rangle = \sum\limits_{n}f_n |n\rangle$$ El ansatz variacional dicta la minimización del funcional de energía $$E[f_n,f_n^*] = \langle\Psi|\hat{H}|\Psi\rangle$$ con la restricción $\langle \Psi|\Psi\rangle=1$ ( $f_n^*$ es un complejo conjugado). Tomando la derivada tenemos ecuaciones para los coeficientes: $$\frac{\partial E}{\partial f_n^*} = 0.$$

También existe el principio dinámico variacional donde se minimiza la acción de Schrodinger $$S = \int dt \mathcal{L}$$ donde $$\mathcal{L} = \langle\Psi(t)|i\hbar\partial_t - \hat{H}|\Psi(t)\rangle$$ Utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange obtenemos ecuaciones diferenciales para $f_{n}$ : $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_n^*} - \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{f}_n^*}=0$$ Mi pregunta es si la energía $E(t) = \langle\Psi(t)|\hat{H}|\Psi(t)\rangle$ definida con los coeficientes $f_n(t)$ derivada de las ecuaciones de Euler-Lagrange es una cantidad conservada, es decir $d E(t)/dt = 0$ ?

Lo que tengo en mente es el Hamiltoniano de Bose-Hubbard $$\hat{H} = -J\sum\limits_{<i,j>}\hat{a}_i^{\dagger}\hat{a}_j + \frac{U}{2}\sum\limits_i\hat{n}_i(\hat{n}_i-1)-\mu\sum\limits_{i}\hat{n}_i$$ con ansatz variacional: $$|\Psi\rangle = \bigotimes\limits_{i}|\psi_i\rangle,\ \ |\psi_i\rangle = \sum\limits_{n=0}^{n_F}f_{n}^{(i)}|n\rangle_{i}$$ En este caso, los coeficientes $f_n$ no son una solución de la ecuación de Schrodinger $i\hbar \partial_t |\Psi\rangle = \hat{H} |\Psi\rangle$ .

Answer 1

Si se toma la ecuación del movimiento en la acción del campo de Schrodinger, se impone simplemente esta ecuación: $$ \frac{\delta S}{\delta f_{n}}|_{Bulk}=0\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\, H_{n}^{m} f_m=i\hbar\frac{df_n (t)}{dt} $$

Nótese que he utilizado la palabra Bulk debajo de la derivada funcional. Esto es porque, la derivada funcional actúa sólo en el interior del funcional, y no te dice cómo se comportan los términos de frontera. En este problema los términos de frontera están relacionados con el estado inicial del sistema. Esto es lo que quieres encontrar. El estado inicial que quieres encontrar es precisamente el estado que conserva las probabilidades: $$ \frac{d(f^{*}_{n}f^{n})}{dt}(t)=0 $$

Así, la respuesta que nos da la variación dentro del Bulto de la acción es que si se quiere tal estado hay que intentar diagonalizar $H_{mn}$ . Una respuesta muy trivial. En realidad lo que se quiere más es el menor valor propio de $H$ Así que ya lo sabes. La respuesta a tu pregunta es que la ecuación del movimiento no es necesaria para especificar su estado. La ecuación del movimiento sólo te dice cómo evoluciona un estado a través del tiempo.

Si te interesan las aplicaciones funcionales al estado de vacío puedes utilizar la idea de que en el límite $T\rightarrow 0$ de un sistema en equilibrio térmico con un depósito la matriz de densidad se acerca al estado básico:

$$ \rho=\frac{e^{-\beta H}}{tr(e^{-\beta H})}\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,|0\rangle\langle 0| $$

Y luego puedes usar el ideas integrales del camino viendo el $\beta$ como tiempo, y el límite como $\beta\rightarrow \infty$ .