¿Es$\mathbb{Q}$ isomorfo a$\mathbb{Z^2}$?

Question

La mayoría de nosotros somos conscientes del hecho de que $\mathbb{C}$ es isomorfo a $\mathbb{R^2}$, como podemos definir a la $\mathbb{C}$ como sigue :

$$\mathbb{C} := \left\{z : z=x+iy \ \ \ \text{where} \ \ \langle x,y \rangle \in \mathbb{R^2}\right\}$$

Ahora que esto implica

$$\mathbb{C} \cong \mathbb{R^2} $$

Pero, por este mismo argumento, no podemos hacer el mismo argumento para $\mathbb{Q}$, el conjunto de los números racionales e $\mathbb{Z^2}$? Podemos definir a la $\mathbb{Q}$ como sigue:

$$\mathbb{Q} := \left\{\frac{m}{n} : \langle m,n \rangle \in \mathbb{Z^2} \ \ \land \ n \neq 0 \right\}$$

Lo cual implicaría

$$\mathbb{Q} \cong \mathbb{Z^2} $$

Y podríamos ir más allá y explicar que $\{\mathbb{Q}\} = \mathbb{Z}r\mathbb{Z} - 0$ donde $r$ es una relación en $\mathbb{Z}$.

Así es $\mathbb{Q}$ isomorfo a $\mathbb{Z^2}$?

Answer 1

Tienes que ser más específico acerca de lo que entendemos por "isomorfo". Depende de a qué categoría en la que trabaja. Por ejemplo, como conjuntos de $\mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Q}$ para cualquier número natural $n \geq 1$, ya que ambos conjuntos son numerables. Por otro lado, es ciertamente falso que $\mathbb{Z}^2 \cong \mathbb{Q}$ como grupos.

Tal vez más sorprendente, si se ha tomado álgebra lineal, todos finito dimensionales espacios vectoriales son isomorfos como conjuntos! Por otro lado, obviamente no son isomorfos como espacios vectoriales. Así que, obviamente, bijection es la equivocada noción de isomorfismo si estás estudiando álgebra lineal,

Aquí está la idea general. Dependiendo de lo que usted está interesado en el estudio, se define una categoría de objetos y morfismos en esa categoría. Por lo general (pero no siempre) los objetos serán presentados por los conjuntos con cierta estructura y los morfismos serán funciones que preservan la estructura. Así que si usted está estudiando en grupos, los objetos serán los grupos y los morfismos será grupo homomorphisms. Si estás estudiando espacios topológicos los objetos serán los espacios y los morfismos será continua mapas. De todos modos, ahora que usted haya decidido sobre una categoría para el estudio, el isomorphisms será el invertible morfismos en esa categoría.

Si usted desea aprender más acerca de esta perspectiva estructural de las matemáticas, echa un vistazo Lawvere y Schanuel del libro Conceptual de las Matemáticas: Una Primera Introducción a las Categorías. Es muy accesible para los principiantes y te enseña algo muy importante de herramientas e ideas para hacer matemáticas.

Answer 2

Es importante especificar en qué sentido dos objetos son isomorfos o no. En su ejemplo,$\mathbb{R}^2$ y$\mathbb{C}$ son isomorfos como grupos abelianos o$\mathbb{R}$ - espacios vectoriales, pero no como anillos (si la multiplicación en$\mathbb{R}^2$ se realiza en forma de componentes).

Da la casualidad de que$\mathbb{Q}$ y$\mathbb{Z}^2$ no son grupos isomorfos, ya que, por ejemplo,$\mathbb{Q}$ es divisible pero$\mathbb{Z}^2$ no lo es.