Convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{1+z^{2n}}$

Question

¿Para qué valores complejos de $z$ es $$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{1+z^{2n}}$$ convergente?

Me gustaría escribir la suma como una serie de potencias, porque con una serie de potencias podemos determinar el radio de convergencia. Pero en este caso parece desordenado. Tenemos $\dfrac{1}{1+z^{2n}}=1-z^{2n}+z^{4n}-\cdots$, por lo que la suma original es $$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kz^{n+2nk}$$ y no creo que sea muy útil...

Answer 1

Pista: Si $|z|\lt 1$, debería ser una comparación sencilla, después de un tiempo la norma del $n$-ésimo término es $\lt \frac{1}{2}|z|^n$.

Si $|z|=1$, los términos no se acercan a $0$, por lo que no podemos tener convergencia.

Y si $|z|\gt 1$ debería ser una comparación sencilla: dividir arriba y abajo por $z^n$.

La conclusión será que tenemos convergencia si $|z|\ne 1.

Answer 2

Pista: Cuando $|z|<1$ tenemos $$\left|\frac{z^n}{1+z^{2n}}\right| \le \frac{|z|^n}{1-|z|^{2}},$$ cuando $|z|>1$ tenemos $$\left|\frac{z^n}{1+z^{2n}}\right| \sim {|z|^{-n}}$$ y cuando $|z|=1$ tenemos $$\left|\frac{z^n}{1+z^{2n}}\right| \not\to 0.

Answer 3

Este parece ser un buen momento para la prueba de la razón:

Definiendo $a_n=\frac{z^n}{1+z^{2n}}$, tenemos $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| &= \lim_{n\to\infty} \frac{z^{n+1}}{1+z^{2(n+1)}} \frac{1+z^{2n}}{z^n}\\ &= \lim_{n\to\infty} z\frac{1+z^{2n}}{1+z^{2(n+1)}}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{z+z^{2n+1}}{1+z^{2(n+1)}}\\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{z^{-2n-1}+z^{-1}}{z^{-2n-2}+1} \end{align} $$ Cuando $|z|\neq 1$, lo anterior se acerca a cero, lo que implica convergencia. De lo contrario, la prueba es inconclusa.

De hecho, podemos concluir que los términos de la suma no convergen a cero cuando $|z|=1$ ya que por la desigualdad triangular, tenemos $$ \begin{align} |a_n| &= \left| \frac{z^n}{1+z^{2n}}\right|\\ &=\frac{|z|^n}{|1+z^{2n}|}\\ &\geq \frac{|z|^n}{|1|+|z|^{2n}} = \frac{1^n}{1+1^{2n}}=\frac12 \end{align} $$ Lo que significa que la suma debe divergir para todos esos valores.

Answer 4

Si $|z|<1$ entonces $$\left|\frac{z^n}{1+z^{2n}}\right|\leq \frac{|z|^n}{1-|z|^{2n}}\sim_\infty |z|^n$$ y la serie geométrica $\sum_n |z|^n$ es convergente, por lo que la series dada es absolutamente convergente.

Si $|z|>1$ entonces $$\left|\frac{z^n}{1+z^{2n}}\right|\leq \frac{|z|^n}{|z|^{2n}-1}\sim_\infty |z|^{-n}$$ y la serie geométrica $\sum_n |z|^{-n}$ es convergente, por lo que la series dada es absolutamente convergente.

Si $|z|=1$ entonces la serie es divergente ya que el término general no converge a $0$.