¿La pre-imagen de un subgrupo bajo un homomorfismo es un grupo?

Question

Deje que$(G, +)$ y$(H, \circ)$ sean grupos,$U$ un subgrupo de$H$ y$\varphi: G \rightarrow H$ sea un homomorfismo de grupo, es decir,$$\forall a, b \in G: \varphi(a+b) = \varphi(a) \circ \varphi(b)$ $

¿La pre-imagen$\varphi^{-1}(U) = \{g \in G: \varphi(g) \in U\}$ también es un grupo?

Mi intento

$e_G \in \varphi^{-1}(U)$, porque$\varphi(e_G) = e_H$ y$e_H \in U$.

Dejar $a, b \in \varphi^{-1}(U)$. Entonces y $\exists x, y \in U: \varphi(a) = x$. Como$\varphi(b) = y$ es un grupo,$U$. Como$x \circ y \in U$ es un homomorfismo de grupo,$\varphi$.

Pero todavía tengo que mostrar:$\underbrace{\varphi(a)}_x \circ \underbrace{\varphi(b)}_y = \varphi(a + b) \in U \Leftrightarrow (a+b) \in \varphi^{-1}(U)$

¿Cómo puedo mostrar esto?

Answer 1

Deje que$a \in \varphi^{-1}(U)$ sea cualquier elemento en la imagen previa de$U$. Esto significa que $\varphi(a) \in U$. Como$U$ es un grupo, tiene un inverso$(\varphi(a))^{-1} \in U$. Pero los homomorfismos se cierran bajo inversión, entonces$(\varphi(a))^{-1} = \varphi(a^{-1}) \in U$. Esto significa $a^{-1} \in \varphi^{-1}(U)$.

Answer 2

establezca$H=\phi^{-1}(U)$, entonces$H$ es un grupo si, si $\forall a,b \in H$% también tenemos$ab^{-1} \in H$ ie$\phi(ab^{-1}) \in U$

supongamos, entonces, que$\phi(a)=u \in U$ y$\phi(b)=v \in U$

ya que$\phi$ es un morfismo de grupo,$\phi(ab^{-1}) = \phi(a) \phi(b^{-1}) = u \phi(b)^{-1} = uv^{-1} \in U$ como$U$ es un grupo

Answer 3

¿Por qué no usar la prueba de subgrupos de 1 paso? Por favor, notificarme si mi intento aquí es defectuoso?

$\phi^{-1}(U)$ es un subgrupo iff$\forall a,b \in \phi^{-1}(U)$,$ab^{-1} \in \phi^{-1}(U)$. Por definición de preimagen, esto significa$\phi(ab^{-1}) \in U.$$\iff \phi(a)\phi(b^{-1}) \in U$.

Esta última línea es cierta. Este es el por qué. $b \in \phi^{-1}(U) \iff \phi(b) \in U \iff$ Su inverso está en U$ \iff (\phi(b))^{-1} = \phi(b^{-1}) \qquad \in U$. Misma lógica con$a$.