Si a y C son independientes, es P(a,C) = P(a)*P(C) siempre verdadera?

Question

Aquí está la pregunta original.

De las tres posibles eventos, Una es independiente de las otras dos, y los eventos B y C son mutuamente excluyentes. Las probabilidades de que cada uno de los eventos a, B y C se producen son de 0.5, 0.3 y 0.2, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos eventos Un evento y C va a ocurrir?

La respuesta a esta pregunta es:

Empezar con el "mutuamente excluyentes" eventos", como este es el más restrictivo de la declaración. Si el evento B ocurre, caso C no puede suceder. Del mismo modo, si el suceso C sucede, el evento B no puede suceder. Es posible que ni el evento B o C que va a suceder, pero no pueden ambos ocurrir.

Considerar las posibilidades, comenzando con el hecho de que el evento B ocurre.

Si el evento B ocurre, caso C no puede ocurrir, así que no hay manera de que tanto evento a y el evento C a suceder. (es decir, la Probabilidad de a y C es igual a cero si B se produce.) Si el evento B no ocurre, evento C puede suceder, como podría evento A.

Por lo tanto, la probabilidad de que ambos eventos Un evento y C va a ocurrir es la probabilidad de que B NO va a suceder, Una que va a suceder, y C va a suceder. {NOTA: "y", significa multiplicar las probabilidades", o" significaría agregar probabilidades.}

P(a y C) = P(no B) × P(A) × P(C) P(a y C) = [1 – 0.3] × 0.5 × 0.2 = 0.7 × 0.5 × 0.2 = 0.07 = 7%

La respuesta correcta es del 7%

Fuente: http://www.manhattanprep.com/gre/ChallengeProblems/LastWeek/

Mi pregunta es:

1) P(a,C) = 0.07 en esta pregunta. Sin embargo, esto no es P(a)*P(C)=0.10, a pesar de que a y C son independientes. ¿Por qué la regla P(a,C) = P(a)*P(C) fallar a pesar de que a y C son independientes? ¿Hay alguna restricción que se aplica a esta regla?

2) el Evento B y C no son independientes. Sin embargo, el problema de los estados que P(a,C,~B) = P(a)*P(C)*P(~B). Pensé que esto era posible sólo si C y ~B son independientes. ¿Puede por favor explicar si esto es válido?

Su ayuda es muy apreciada. Tener un día maravilloso.

Answer 1

El declaró respuesta de 0,07 está mal. Me esforzaré para mostrar el error en la respuesta de la lógica.

Ellos están tratando de utilizar la regla del total de la probabilidad para calcular el $P(A\cap C)$. (La expresión $A\cap C$ es como decir $A$ e $C$ ocurren simultáneamente). Este procedimiento es como sigue

$$P(A\cap C) = P(A\cap C\cap B^c) + P(A\cap C\cap B) = P(A\cap C\cap B^c).$$

(Notar que $B^c$ es lo mismo que $\tilde{}B$.) Podemos eliminar $P(A\cap C\cap B)$ porque $C$ e $B$ son mutuamente excluyentes. Como el OP señaló, $C$ e $B^c$ no son independientes, así que no podemos usar la regla del producto. Aquí es donde el citado solución va mal.

La respuesta correcta puede ser obtenido directamente a través del producto $P(A)P(C)$ mediante el uso de independencia, pero también voy a mostrar cómo el cálculo de $P(A\cap C\cap B^c)$ se puede hacer uso de la probabilidad condicional. Utilizando la definición de probabilidad condicional, tenemos

$$P(A\cap C\cap B^c) = P(A | C\cap B^c)P(C\cap B^c) = P(A)P(C\cap B^c).$$

Hemos sido capaces de simplificar $P(A | C\cap B^c)$ porque $A$ es independiente de $B$ e $C$. Sin embargo, ahora debemos calcular el $P(C\cap B^c)$. Podemos reescribir esta expresión usando la regla del total de la probabilidad como

$$P(C\cap B^c) = P(C) - P(C\cap B) = P(C)$$

Debido a $B$ e $C$ son mutuamente excluyentes, $P(C\cap B)=0$. Y así llegamos a la conclusión de que $P(A\cap C) = P(A)P(C)$ dado por la definición de la independencia.

Para eventos independientes, el cálculo de $P(A\cap C)=P(A)P(C)$ siempre es cierto. Este resultado se da como una definición en la mayoría de los casos.