El problema es encontrar el término de segundo orden en la expansión de la serie de la expresión $\mathrm{det}( I + \epsilon A)$ como una potencia de la serie en $\epsilon$ para una matriz diagonalizable $A$.
Formalmente vamos a escribir la serie como,
$$ \det( I + \epsilon A ) = f_0(A) + \epsilon f_1(A) + \epsilon^2 f_2(A) + \cdots +\epsilon^N f_N(A), $$
en particular, estamos buscando una expresión en términos de la traza de la matriz $A$.
Tenga en cuenta que el determinante de una matriz es solo un polinomio en los componentes de la matriz. Esto significa que la serie en cuestión es finito. Esto también significa que las funciones $f_1,f_2,\dots,f_N$ son polinomios.
Empezamos por calcular el término que es de primer orden en $\epsilon$.
Deje $A_1, A_2, \dots , A_N$ ser los vectores columna de la matriz $A$. Deje $e_1,e_2,\dots, e_N$ ser el estándar de base; tenga en cuenta que estos vectores de la base forman las columnas de la matriz identidad $I$. A continuación, recordamos que el determinante es una alternancia de multi-lineal mapa en la columna de espacio.
$$ \mathrm{det}( I + \epsilon A ) = \mathrm{det}( e_1 + \epsilon A_1, e_2 + \epsilon A_2, \dots , e_N + \epsilon A_N ) $$
$$ = \mathrm{det}( e_1, e_2, \dots , e_N ) + \epsilon \lbrace \mathrm{det}(A_1,e_2,\dots, e_N) + \mathrm{det}(e_1,A_2,\dots, e_N) + \cdots + \mathrm{det}(e_1,e_2,\dots, A_N)\rbrace + O(\epsilon^2)$$
El primer término es sólo el determinante de la matriz identidad, que es $1$. El término proporcional a $\epsilon$ es una suma de expresiones como $\mathrm{det}(e_1,e_2,\dots, A_j, \dots, e_N)$ cuando la $j$'ésima columna de la matriz identidad es reemplazado con el $j$'ésima columna de $A$. Expandiendo el determinante a lo largo de la $j$'th fila vemos que $\mathrm{det}(e_1,e_2,\dots, A_j, \dots, e_N) = A_{jj}$.
$$ \mathrm{det}( I + \epsilon A ) = 1 + \epsilon \sum_{j=1}^N A_{jj}+ O(\epsilon^2) = 1 + \epsilon \mathrm{Tr}(A) + O(\epsilon^2)$$
$$\boxed{ f_1(A) = \mathrm{Tr}(A) } \qquad \textbf{(1)} $$
Tenemos el primer término en nuestra serie en un computacionalmente sencillo formulario. Nuestro objetivo es obtener los términos de orden superior en la serie en una forma similar. Para ello tendremos que abandonar el actual método de ataque y considerar el factor determinante de la exponencial mapa aplicada a una matriz.
Si $A$ es diagonalizable entonces podemos definir el $\exp(A)$ en términos de su acción sobre los vectores propios de $A$. Si $a_1,a_2,\dots , a_N$ son vectores propios de $A$ con autovalores $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_N$ entonces $\exp(A)$ es la matriz que satisface,
$$ \exp(A) a_j = e^{\lambda_j} a_j.$$
No es difícil mostrar que $\det( \exp(A) ) = \exp(\mathrm{Tr}(A))$. Desde $A$ es el operador lineal en un número finito de dimensiones de espacio vectorial tiene un número finito de norma. Esto significa que con seguridad se puede evaluar la exponencial mapa como una serie infinita. La serie infinita es consistente con nuestra definición en términos de la eigenbasis. Considerar el siguiente,
$$\det( \exp(\epsilon A) ) = \exp(\epsilon \mathrm{Tr}(A))$$
$$\det( I + \epsilon A + \frac{\epsilon^2}{2} A^2 +\cdots ) = 1 + \epsilon \mathrm{Tr}(A) + \frac{\epsilon^2}{2} (\mathrm{Tr}(A))^2 + \cdots \qquad (*)$$
En el lado izquierdo de $(*)$ podemos tener un $\epsilon$ una escritura,
$$ \det( I + \epsilon \lbrace A + \frac{\epsilon}{2} A^2 +\cdots \rbrace ) = 1 + \epsilon \mathrm{Tr}(A + \frac{\epsilon}{2} A^2 + \cdots)+ \epsilon^2 f_2( A + \frac{\epsilon}{2} A^2 + \cdots ) + O(\epsilon^3)$$
$$ = 1 + \epsilon \mathrm{Tr}(A) + \epsilon^2 \lbrace \frac{1}{2}\mathrm{Tr}( A^2)+f_2( A + \frac{\epsilon}{2} A^2 + \cdots ) \rbrace + O(\epsilon^3)$$
Ahora comparamos el segundo orden de los términos en $\epsilon$ y obtener,
$$ \frac{1}{2}\mathrm{Tr}( A^2)+f_2( A + \frac{\epsilon}{2} A^2 + \cdots ) = \frac{1}{2}(\mathrm{Tr}(A))^2, $$
Ahora permiten a $\epsilon \rightarrow 0 $,
$$ \boxed{f_2( A ) = \frac{\mathrm{Tr^2}(A)-\mathrm{Tr}(A^2)}{2}} \qquad \textbf{(2)}. $$
Los términos de orden superior se puede obtener de forma sistemática utilizando el mismo truco como el anterior a pesar de que los cálculos se involucren más.
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