Para que los títulos se lisas equivalente a ser irreductible?

Question

Al mejor de mi conocimiento, una curva algebraica de grado $2$ es suave si y sólo si a es irreducible. En otras palabras, la única liso de las secciones cónicas a partir de la no-degenerada queridos.

No esta de más alto grado de las curvas algebraicas?

Sé que el ser reducible implica que la curva no es suave, que es el contrapositivo de suavizar lo que implica irreductible. Esto debe seguir desde el producto/Leibniz regla de diferenciación, debido a que si una curva algebraica es igual a $p(x_1,\dots,x_n)q(x_1,\dots,x_n)$, entonces todas sus derivadas parciales son de la forma $\frac{\partial}{\partial x_i}p(x)q(x_1,\dots,x_n) +p(x_1,\dots,x_n) \frac{\partial}{\partial x_i}q(x)$, y por lo tanto la curva tiene un punto singular en cada punto de intersección de las cero conjuntos de $p$ e $q$, que por el teorema de Bezout debe ser no vacío, al menos en el espacio proyectivo.

(Aquí estoy usando la definición de suave no tiene puntos singulares en todo, singular puntos donde el gradiente se desvanece, y por lo tanto no podemos definir una línea tangente.)

Así que supongo que mi pregunta se reduce a:

Hace una curva algebraica de ser irreductible implica que es liso?

Answer 1

Tan pronto como el grado es mayor que dos, que no son de suaves curvas irreducibles de grado $d$. Tomemos por ejemplo la $z^{d} - t w^{d-1}=0$ en el plano proyectivo, en las coordenadas homogéneas $[z:w:t]$. Tiene una cúspide en $[0:0:1]$.

Addendum: de hecho, hay toda una (difícil) campo de la geometría algebraica cuyo objetivo es entender las singularidades de irreductible algebraicas conjuntos. Los temas incluyen la clasificación y la búsqueda de desingularizations (a grandes rasgos, la búsqueda de una forma de "arreglar" la singularidad). Esas preguntas también pueden ser estudiados en diferentes campos.