Pregunta de probabilidad relativa a lanzar una moneda

Question

En un examen me dio recientemente, la siguiente pregunta:

Una moneda es lanzada $10$ veces y los resultados están en la lista. deje $H_i$ ser el caso de que el $i^{th}$ resultado es una cabeza y $A_m$ ser el caso de que la lista contiene exactamente m cabezas, a continuación, se $H_2$ e $A_5$ eventos independientes ?

La solución Oficial a esta pregunta fue la siguiente:

$$p(H_i) = \frac{1}{2},\qquad p(A_m)=\frac{^{10}C_m}{2^{10}}\\p(H_i\cap{A_m})=\frac{^9C_{m-1}}{2^{10}}.\\\text{For}\;H_i\;\text{and}\;A_m\;\text{to be independent},\;\frac{^9C_{m-1}}{2^{10}}=\frac{1}{2}.\frac{^{10}C_m}{2^{10}}\\ \Rightarrow1=\frac{1}{2}.\frac{10}{m}\Rightarrow m=5\\ \Rightarrow H_2\;\text{and}\;A_5\;\text{are independent events} $$

Ahora bien, aunque entiendo las matemáticas detrás de esta respuesta, me parece lógicamente confuso que $p(A_5)$ no se vea afectado o no, si la $2^{nd}$ resultado cabezas. Alguna idea ?

Answer 1

Lo importante aquí es este:

Si el 2º sorteo es mano a mano, usted necesita para obtener exactamente 4 otros jefes en los otros nueve lanzamientos. Hay $\binom{9}{4}$ igualmente probable maneras de hacer esto.

Si el 2º sorteo es de las colas, usted necesita para obtener exactamente 4 otras colas en los otros nueve lanzamientos. De nuevo, hay $\binom{9}{4}$ igualmente probable maneras de hacer esto.

Así que, independientemente de los resultados de la segunda sacudida, con la condición de que usted tiene la misma probabilidad de obtener exactamente 5 cabezas.

(Por supuesto, usted podría también haber dicho que usted necesita para obtener exactamente 5 cabezas en el último caso; pero, dado que el $\binom{9}{5}=\binom{9}{4}$, esto no es un problema.)

Answer 2

Deje $P\left(H_{2}\mid A_{5}\right)$ stand para la probabilidad de que resultado $2$ es una cabeza bajo la condición de que $5$ de los resultados son los jefes.

A continuación,$P\left(H_{2}\mid A_{5}\right)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

Sabemos que $P\left(H_{2}\right)=\frac{1}{2}$ y se observa que $P\left(H_{2}\right)=P\left(H_{2}\mid A_{5}\right)$.

Esto justifica la conclusión de que el evento $A_{5}$ no 'afectar' esta probabilidad, lo que significa: la independencia.

Las cosas pueden ser diferentes cuando se comparan $H_2$ e $A_i$ donde $i\neq 5$

Especialmente en el caso de $A_5$ el número de cabezas de acuerdo con lo que iba a ser 'espera' ($5$ de $10$).