Polinomio $f(x)$ tal que $\dfrac{f(k)-f(m)}{k-m}\in\mathbb{Z}$

Question

Estoy lidiando con la prueba de la Competencia Internacional de Matemáticas para Estudiantes de la Universidad de 2011, y he tenido un montón de dificultades, por lo que espero que alguien me pueda ayudar para discutir las preguntas.

He publicado antes de las preguntas 2, 3 y 5, estos últimos todavía abierto.

La pregunta 4 que dice:

Vamos a ser $f(x)$ un polinomio real coeficients y el grado $n$. Supongamos que $\dfrac{f(k)-f(m)}{k-m}$ es entero para todos los enteros $0\leq k\lt m\leq n$. Demostrar que $a-b$ divide $f(a)-f(b)$ para cualquier par de enteros distintos $a$ e $b$.

La única sustancial de la cosa que tengo es que:

Dado cualquier $k\in\{1,2,3,\dots,n-1\}$, tenemos

$\dfrac{f(k)-f(0)}{k}\in\mathbb{Z}$.

Así,

$f(k)-f(0)$ se entero por cualquier $k\in\{1,2,3,\dots,n-1\}$.

También tengo pensó que los derivados pueden ser alguna relación, por el tipo de fracción...

Agradezco mucho.

Importante Edición (Octubre 04)

He encontrado un documento con estas soluciones y estoy estudiando ellos. Estos son los documentos: http://www.imc-math.org.uk/imc2011/imc2011-day2-solutions.pdf y http://www.imc-math.org.uk/imc2011/imc2011-day1-solutions.pdf.

Answer 1

No creo que la derivada viene en cualquier lugar en este. Sin embargo, la versión discreta, es decir, hacia adelante diferencias, llega en un sentido. Voy a esbozar una prueba.

Deje $g(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x}$. A continuación, $g(1),g(2),\dots,g(n-1)\in\mathbb{Z}$. Por otra parte, desde la $g$ es un polinomio de grado $n-1$, tenemos $$ 0=\Delta^n[g](x)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^{n-k}g(x+k) $$ dando a $g(\mathbb{Z})\subseteq\mathbb{Z}$inductiva. Así $$ g(x)=\sum_{k=0}^{n-1} c_k\binom{x}{k} $$ con $c_k\in\mathbb{Z}$, es decir, $$ f(x)=f(0)+x\sum_{k=0}^{n-1} c_k\binom{x}{k}=f(0)+\sum_{k=1}^n c'_k\binom{x}{k}. $$ con $c'_k\in\mathbb{Z}$.

Por otra parte, al examinar más profundamente en la condición $\dfrac{f(k)-f(m)}{k-m}\in\mathbb{Z}$ para $0\leq k<m\leq n$ e inducción en $k$observando $$ \begin{align*} \binom{a}{k}-\binom{b}{k}&=\sum_{j=1}^k\binom{a-b}{j}\binom{b}{k-j}\\ &=(a-b)\sum_{j=1}^k\frac1j\binom{a-b-1}{j-1}\binom{b}{k-j} \end{align*} $$ uno puede demostrar que $c'_k$ es un múltiplo entero de $L_k:=\operatorname{lcm}(1,2,\dots,k)$ por cada $k$. Por lo tanto el resultado de la siguiente manera.