Tenga en cuenta que no podemos tener un simple gráfico donde $e (G)=v (G) $ es uno o dos. Sin embargo es posible tener no-gráficas simples que están conectados y satisfacer $e (G)=v (G) $ sin ciclos simples.
Considere la posibilidad de un árbol con cuatro vértices y tres bordes. Ahora agregue un filo más que cualquiera de los duplicados existentes borde o pone un bucle (borde) en una hoja de vértice.
El resultado sigue conectado pero ya no es un simple gráfico, y, en particular, no es un ciclo simple que ni contiene un ciclo simple a excepción de un bucle o de doble arista entre dos vértices.
Si estos se permiten (y el OP no ha hablado para decir que no es así), entonces podemos probar la unicidad del ciclo simple contenida en el conectado (no dirigido) gráfico de $G$.
Si $G$ no contiene un ciclo, incluso de bucle o de doble filo variedad, sin embargo, estaba conectado, entonces sería árbol y $e(G)$ se $v(G)-1$ (una prueba por inducción es fácil y ha sido discutido previamente en Matemáticas.SE). Por otro lado, si $G$ estaba conectado a un simple gráfico con $e(G)=v(G)$,, a continuación, $G$ sí sería un ciclo simple de longitud $e(G)=v(G)$.
Por último, si $G$ está conectado con $e(G)=v(G)$, luego se diferencia de un árbol de expansión $T$ contenida en $G$ por un solo borde. Así que si $G$ sí no es un ciclo, entonces la ventaja extra en la $G$, pero no en $T$ debe ser un bucle (borde) o un duplicado (en paralelo) de un borde en $T$. Como cualquier ciclo en el $G$ debe usar el borde que no pertenecen a $T$, podemos ver en cualquiera de los casos, que el "ciclo simple" de $G$ es único, un lazo o un par de bordes paralelos.
