La característica de Euler de un cociente de espacio

Question

Tengo una pregunta relacionada con una respuesta en MathOverflow.net. El citado respuesta dice:

Deje $X$ ser un espacio topológico para que [la característica de Euler] $\chi(X)$ se define y se comporta de la forma esperada para los sindicatos, los productos Cartesianos, y los cocientes por un número finito de la acción libre. ... [Entonces] $$\chi(X^{(2)}) = \frac{\chi(X \times X) - \chi(\operatorname{Diag}(X))}{2} + \chi(X) = \frac{\chi(X)^2 + \chi(X)}{2}$$ [where $X^{(2)}$ denotes the symmetric square of $X$].

Pregunta: ¿alguien sabe una referencia para este resultado, o, en su defecto, un corto de prueba? Para la aplicación que tengo en mente, necesito el resultado de variedades algebraicas sobre un algebraicamente cerrado de campo (cuyo carácter puede ser positivo), pero más general resultado sería bueno para ver.

Answer 1

El producto Cartesiano es la unión de la diagonal, y su complemento, y un grupo finito $C_2$ actúa libremente en el que se complementan con el cociente de la simetría del cuadrado menos una copia de $X$, por lo que $$\chi(X \times X) = \chi(\text{Diag}(X)) + 2 (\chi(X^{(2)}) - \chi(X))$$

y la conclusión de la siguiente manera. (Esta es esencialmente la combinatoria; ejecutar a través del argumento de $X$ de un número finito de espacio discreto si esta parte no está claro.)

En la práctica, sin embargo, me parece que todo el trabajo que se va a verificar el "se comporta de la forma esperada" hipótesis", y si eso es lo que estábamos pidiendo, entonces, yo no tengo nada útil que decir (salvo que si la hipótesis es difícil de verificar para la definición de la característica de Euler de que estás utilizando, a continuación, considere la posibilidad de usar uno diferente).