Cómo mostrar $\frac{c}{n} \leq \log(1+\frac{c}{n-c})$

Question

Cómo mostrar $\frac{c}{n} \leq \log(1+\frac{c}{n-c})$ para cualquier constante positiva $c$ tal que $0 < c < n$?

Estoy pensando en la expansión de Taylor, pero no funciona...

Answer 1

Sugerencia: Para todos los $n-c \le x \le n$, tenemos $\dfrac{1}{n} \le \dfrac{1}{x}$. Por lo tanto, $$\displaystyle\int_{n-c}^{n}\dfrac{1}{n}\,dx \le \int_{n-c}^{n}\dfrac{1}{x}\,dx.$$

Answer 2

Sugerencia: Con $x = (c/n)/(1 - c/n)$

$$\log(1 + x) = \int_1^{1+x} \frac{dt}{t} \geqslant \frac{x}{1+x}$$

Answer 3

Comenzando con $$ e^t\ge 1+t\qquad\text{for all }t\in\Bbb R$$ (posiblemente la más útil de la desigualdad sobre la exponencial) nos encontramos conectando $-\frac cn$ para $t$ $$ e^{-c/n}\ge 1-\frac cn= \frac{n-c}{n}=$$ y, a continuación, después de tomar recíprocos (ambos lados son positivos!) $$e^{c/n} \le \frac n{n-c}=1+\frac c{n-c}$$ Por último, aplicar logaritmo a obtener $$\frac cn\le \ln\left(1+\frac c{n-c}\right) $$

Answer 4

Por el valor medio teorema, $e^{c/n} = 1 + e^{\alpha}(c/n)$ para algunos $\alpha\in (0, c/n)$. Desde $e^{\alpha} \le e^{c/n}$,, a continuación,$e^{c/n} \le 1 + e^{c/n}(c/n)$. Por lo $(1 - c/n)e^{c/n} \le 1$, o

$$e^{c/n} \le \frac{1}{1 - c/n} = \frac{n}{n-c} = 1 + \frac{c}{n-c}$$

Ahora tomar logaritmos.

Answer 5

Pensé que sería instructivo para presentar un camino a seguir que no se basa en el cálculo, sino más bien de una escuela primaria de la desigualdad. Para ello, vamos a proceder.

Me mostraron en ESTA RESPUESTA usando sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli que el logaritmo de la función satisface las desigualdades

$$\frac{x-1}{x}\le\log(x)\le x-1 \tag 1$$

para $x>0$.

El uso de $(1)$ con $x=1+\frac{c}{n-c}=\frac{n}{n-c}$, y por lo tanto $\frac{x-1}{x}=\frac{c}{n}$, es fácil ver que para $n>c>0$

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{c}{n}\le \log\left(1+\frac{c}{n-c}\right)\le \frac{c}{n-c}}$$

Y hemos terminado!