Comenzar con una célula, que puede morir, no hacer nada, de transformar a los 2 o 3 células, con una probabilidad de 1/4 respectivamente. ¿Cómo es la probabilidad de extinción?

Question

Una colonia comienza con una célula, que puede morir, no hacer nada, de transformar a los dos o tres células, con una probabilidad de 1/4 para cada caso en el siguiente punto del tiempo. Los niños de las células comparten la misma propiedad descrita anteriormente. ¿Cuál es la probabilidad de que esta colonia es la extinción?

Tengo dos soluciones, $1$ e $\sqrt{2}-1$, a partir de una simple ecuación recursiva, $p=\frac{1}{4}(1+p+p^2+p^3)$. Pero yo no tengo ni idea de cuál es la correcta. Gracias por su ayuda!

Answer 1

Usted ha hecho la mayoría del trabajo; lo que queda es decidir si $1$ o $\sqrt2-1$ es la probabilidad de la extinción. Para ese propósito, vamos a $x_n$ ser la probabilidad de que el evento de que la población extinta en o antes de la $n$-ésimo paso de tiempo. Observe que estos eventos forman un aumento de la secuencia con respecto a $\subseteq$, por lo que la probabilidad de su unión, el evento de la extinción, es el supremum (y también el límite) de que el aumento de la secuencia de números de $x_n$. La cuestión es, por tanto, si esta secuencia se levanta por encima de $\sqrt2-1$.

Tenemos $x_0=0$ (ya que la población es inicialmente de una sola célula, no se han extinguido), y $$ x_{n+1}=\frac14(1+x_n+{x_n}^2+{x_n}^3) $$ (debido a las reglas de cómo las células se multiplican o se mueren o no hacer nada). Observe que esta ecuación dice $x_{n+1}=f(x_n)$ donde $f(x)=\frac14(1+x+x^2+x^3)$ es la función cuya puntos fijos que ya calculado. En particular, usted sabe que $f(\sqrt2-1)=\sqrt2-1$. Pero $f(x)$ es claramente una función creciente de $x$ mientras $x\geq0$. Así, desde la $x_0<\sqrt2-1$, obtenemos, por inducción en $n$ que $x_n<\sqrt2-1$ para todos los $n$. Por lo tanto, la probabilidad de la extinción no es $1$ pero $\sqrt2-1$.

Answer 2

Creo que puedo arrojar algo de luz sobre la recursividad de identidad.

Vamos a llamar a $p$ la probabilidad de que la población a partir de una célula muere. Tenemos 4 escenarios:

1) La célula muere con una probabilidad de $1/4$, por lo tanto la extinción (plazo $1/4$).

2) no hace nada con la misma probabilidad, por lo tanto posponer la cuestión (plazo $p/4$).

3) Se genera en otra celda, por lo tanto, el estudio de la extinción de dos poblaciones (plazo $p^2/4$)

4) genera dos células, de ahí que el estudio de la extinción de las tres poblaciones (plazo $p^3/4$)

Por lo tanto, $$p=\frac 14 (1+p+p^2+p^3),$$ lo que nos da las raíces $1$, $-1\pm \sqrt 2$.

Ahora tenemos que elegir la correcta raíz entre $1$ e $\sqrt 2-1$. Mi intuición sugiere que, gracias a la expectativa de generar la mitad de una celda en cada paso las reglas de la raíz $p=1$ (es decir, la extinción casi seguramente), pero puedo estar equivocado. Así que mi dinero está en $p=\sqrt 2-1$, y me encantaría que si alguien puede dar una prueba formal de este resultado (o demostrar que estoy equivocado, por supuesto).

Answer 3

He traducido esto en un birt/muerte-proceso. A menudo, uno puede establecer el maestro de las ecuaciones y se derivan de la macroscópicas de las relaciones desde el microscópico. Como no existe la no-linealidad (no hay enlace de las células) el rarction tasas corresponden a su probabilidad de $1/4$ y obtenemos

$$C \xrightarrow{k} D$$ $$C \xrightarrow{k} 2C$$ $$C \xrightarrow{k} 3C$$ $$C \xrightarrow{k} C$$

$$\frac{d C}{d t}=-k\,C+kC+k\,C+k\,C$$

$$\frac{d C}{d t}=2k\,C$$

No sé si hay alguna amenaza a la colonia para nunca morir. $C$ en las ecuaciones que representa la Expectativa de valor (primer momento) de las células vivas sobre la población.

El cálculo anterior se tiene que si usted comienza con una gran población. Si usted comienza con una célula que se necesita para configurar el maestro de ecuaciones con la transición probailities y seguir el progreso de cómo su distribución de probabilidad de cambios a lo largo de cada paso de tiempo. En el inicio es $1/4$ menos y menos. Más grande de la población recibe menos la probabilidad de que se muere. Una vez lo suficientemente grande (ley de los grandes números) seguirá las ecuaciones anteriores.