¿Hay alguna prueba de que no existe un circulantes de la matriz de Hadamard de tamaño $8 \times 8$?

Question

¿Hay alguna prueba de que no existe un $8 \times 8$ circulantes de la matriz de Hadamard?

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Una matriz de $H \in \{\pm 1\}^{n \times n}$ es Hadamard si $H H^T = n I$ donde $I$ es el $n \times n$ matriz identidad. Entonces, una matriz de Hadamard $H$ tal que $h_{i,~j}=h_{(i+1)~mod~n,~(j+1)~mod~n}$ es un circulantes de la matriz de Hadamard.

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Por ejemplo, supongamos $\pi$ ser $4$-tamaño de la matriz $[1, -1, -1, -1]$. Vamos

$$A = \text{circulant}(\pi)=\left[\begin{array}{rrrr}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{array}\right]$$

Desde

$$AA^T=4I=\text{circulant}(1,0,0,0)=\left[\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]$$

donde $A$ es el $4 \times 4$ matriz de Hadamard.

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Ahora, mi pregunta es cómo demostrar que no existe un $8 \times 8$ circulantes de la matriz de Hadamard. Puedo comprobar todos los posibles $8 \times 8$ circulantes matrices usando MATLAB. Hay sólo $2^8$ casos posibles; $\text{circulant}(\pm1, \pm1, \pm1, \pm1, \pm1, \pm1, \pm1, \pm1)$. Sin embargo, quiero saber matemático de la prueba no es una prueba a través de la simulación.

Answer 1

No es $8$ por $8$ circulantes de la matriz de Hadamard. Escribir un $n$ por $n$ matriz de Hadamard $H$ as $[v_1,\dots,v_n]$ donde $v_k$ es el $k$-ésima fila. La condición de Hadamard significa que todas las filas de $H$ son mutuamente ortogonales. La condición de ser circulantes significa que $$v_{k+1} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{bmatrix} v_k $$

Llame a la matriz en la expresión anterior $R$. Para $H$ a ser Hadarmard, $v_1 \cdot R^m v_1 = 0$ para $m=1,2,\dots,n-1$. Por lo tanto, $0 = v_1 \dot (R+R^2 + \dots + R^{n-1})v_1$.

Ahora tenga en cuenta que $$I + R+R^2 + \dots + R^{n-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \dots & 1 \end{bmatrix}$$ Donde $I$ es la matriz identidad.

Por un lado, $v_1 \cdot (I + R+R^2 + \dots + R^{n-1}) v_1 = v_1 \cdot I v_1 = ||v_1||^2 = n$. Por otro lado, $$v_1\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \dots & 1 \end{bmatrix} v_1 = \left(\sum_k v_{1,k}\right)^2$$

Donde $v_{1,k}$ es el $k$-ésimo componente de $v_1$. En orden para que esto no sea una contradicción, debemos tener la $n$ es un cuadrado perfecto. Este no es el caso de $n=8$, por lo tanto no hay tal matriz de Hadamard en esta dimensión.