Papel del teorema de Radon-Nikodym en la definición de las probabilidades condicionales

Question

Dejemos que $(\Omega,\mathscr{F},P)$ sea un espacio de probabilidad y $\mathscr{G}\subset\mathscr{F}$ a $\sigma$ -campo contenido en $\mathscr{F}$ . Si definimos la medida finita v en $\mathscr{G}$ por

$\text{v}(G)=P(A\cap G)$ para todos $G\in\mathscr{G}$ ,

entonces mi pregunta se refiere al papel del teorema de Radon-Nikodym en la definición de las probabilidades condicionales que utiliza Patrick Billingsley (1995) en su libro de texto "Probability and Measure", que denota $P[A\|\mathscr{G}]$ y define por;

i) $P[A\|\mathscr{G}]$ ser medible $\mathscr{G}$ ,

ii) $\int_G P[A\|\mathscr{G}] \, dP=P(A\cap G):=\operatorname{v}(A\cap G)$ para todos $G\in\mathscr{G}$ .

Si $P_0$ es $P$ restringido a $\mathscr{G}$ Entonces, como $\operatorname{v}\ll P_0$ para $P_0<\infty$ y por lo tanto $\operatorname{v}<\infty$ Creo que puedo ver que el teorema de Radon-Nikodym garantiza la existencia de un valor real, no negativo y $\mathscr{G}$ -función medible $f$ integrable con respecto a $P_0$ y por lo tanto $P$ que satisfacen i) y ii). Billingsley entonces etiqueta $f:=P[A\|\mathscr{G}]$ (nota: la definición anterior utiliza $P$ no $P_0$ Creo que desde $\operatorname{v}(G)=\int_G f \, dP=\int_G f \, dP_0$ para todos $G\in\mathscr{G}$ ).

Mi pregunta es por qué el teorema de Radon-Nikodym garantiza que $f$ es una probabilidad, ya que por lo que veo sólo garantiza que sea no negativa? Puedo ver que $f$ es una variable aleatoria con un espacio de probabilidad de origen $(\Omega,\mathscr{F},P_0)$ y el espacio objetivo $(\mathbb{R},\mathscr{R},\mu)$ donde $\mu$ es la distribución de $f$ Satisfaciendo a $\mu(A)=P_0[f\in A]$ para todos $A\in\mathscr{R}$ pero eso no significa que $f$ siempre se encuentra en $[0,1]$ y por lo tanto se puede considerar una probabilidad?

Answer 1

Considere el evento $B_n:=\{f\ge 1+1/n\}$ , donde $n$ es un número entero positivo. Es evidente que $B_n\in\mathscr G$ y $$ P_0(B_n)\ge P_0(A\cap B_n)=\int_{B_n}f\,dP_0\ge\int_{B_n}(1+1/n)\,dP_0=(1+1/n)P_0(B_n). $$ El único valor de $P_0(B_n)$ consistente con esta desigualdad es $P_0(B_n)=0$ . En consecuencia, $$ P_0(f > 1)=P_0\left(\cup_{n=1}^\infty B_n\right)\le\sum_{n=1}^\infty P_0(B_n)=0. $$ Esto demuestra que $f\le 1$ , $P_0$ -a.s.