Tengo 2 grupos $U_5$ y $U_{12}$ , ..
$U_5 = \{1,2,3,4\}, U_{12} = \{1,5,7,11\}$ .
Tengo que determinar si un isomorfismo $\varphi: {U_{12}} \to U_5$ existe.
Empecé con el " $yes$ "caso: hay es un isomorfismo.
Así que busqué un isomorfismo $\varphi$ pero no lo encontré. Así que supongo que hay no es un isomorfismo $\varphi$ .
¿Cómo puedo demostrarlo? o al menos explicarlo? por favor ayuda.
No sé cuánto sabes de álgebra pero fíjate que $U_5$ es cíclico, con generador, digamos, $[2]$ . En efecto, para cualquier primo $p$ , $u_p$ será cíclico de orden $p-1$ .
Ahora mira $U_{12}$ ¿es cíclico? Una comprobación bastante tediosa nos dice que $1^2,5^2,7^2,11^2$ todos iguales $1$ mod $12$ por lo que este grupo no es cíclico. De hecho a partir de esto se puede derivar que $U_{12}$ es isomorfo a $C_2 \times C_2$ . Ahora bien, como los grupos isomorfos son ambos cíclicos o ambos no cíclicos (ya que los isomorfismos preservan el orden de los elementos), estos dos grupos no son isomorfos.
En $U_{12}$ cada uno es su propio inverso. Este no es el caso en $U_5$ .
En la misma línea, $2$ es un generador de $U_5$ mientras que $U_{12}$ no tiene generador. Como un grupo es cíclico y el otro no, no pueden ser isomorfos.
El mismo hecho, reafirmado: $U_{5}$ tiene un elemento de orden $4$ mientras que todos los elementos de $U_{12}$ tener orden $1$ o $2$ .
Observación: Si buscas un isomorfismo, probando todas las posibilidades viables, y nada funciona, un registro completo de las pruebas es una prueba de no isomorfismo.
Sin embargo, una forma más cxomún de demostrar el no isomorfismo de dos grupos $A$ y $B$ es mediante el uso de propiedades .
Si tiene una propiedad $P$ que deben preservarse por isomorfismo, y $A$ tiene propiedad $P$ pero $B$ no lo hace, entonces usted sabe $A$ y $B$ no pueden ser isomorfas.
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