P. T. $\frac{1}{a^3(b+c)} +\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)} \ge \frac 32$

Question

Si $abc=1$ donde $a,b,c$ son reales positivos. Demostrar que, a$\frac{1}{a^3(b+c)} +\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)} \ge \frac 32$.

Traté de multiplicar el LHS por $abc$ al hacer la relación homogénea, sino...... Hay un $3$ en el lado derecho ,Así que me presenté AM-GM y se encontró que es suficiente para demostrar que $(a+b)(b+c)(c+a) \le 8$ donde $abc=1$. Sé que es un muy bien conocido de la desigualdad, pero no podía responder . Por favor me ayude.

Fuente: se deriva de una pregunta vino en cualquier Olimpiada pregunta (no recuerdo ahora). Es un buen problema para la aplicación de la AM-GM o, Cauchy-Schartz.La desigualdad de Jensen también puede ayudar.

Answer 1

Vamos

$$a=\frac1x, \, b=\frac1y, \, c=\frac1z \implies xyz=1$$

$$\frac{1}{a^3(b+c)} +\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)} \ge \frac 32 \iff \frac{x^2}{y+z} +\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \ge \frac 32$$

por la Desigualdad de Jensen con $f(x)=x^{-1}$ convexo tenemos que

$$\frac{\frac{x^2}{y+z} +\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}}{x+y+z}=\frac{xf\left(\frac{y+z}x\right) +yf\left(\frac{x+z}y\right) +zf\left(\frac{x+y}z\right)}{x+y+z}\ge f\left(\frac{(y+z)+(x+z)+(x+y)}{x+y+z}\right)=\frac12 $$

y por AM-GM $x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}=3$.

Answer 2

Por C-S y AM-GM obtenemos: $$\sum_{cyc}\frac{1}{a^3(b+c)}=\sum_{cyc}\frac{b^2c^2}{a(b+c)}\geq\frac{(ab+ac+bc)^2}{\sum\limits_{cyc}a(b+c)}=$$ $$=\frac{(ab+ac+bc)^2}{2(ab+ac+bc)}=\frac{1}{2}(ab+ac+bc)\geq\frac{3}{2}\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=\frac{3}{2}.$$