Cómo demostrar que $\sqrt[3]{-1+\sqrt{-7}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{-7}}$ es un número real en una época anterior a la invención de los números complejos

Question

He leído este PDF de ocw.mit.edu sobre los números complejos. Hay una cuestión interesante: Imagínate en la época en que los números complejos aún no se habían inventado. ¿Cómo demostrar que $$\sqrt[3]{-1+\sqrt{-7}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{-7}}$$ es un número real.

Answer 1

El polinomio $x^3-6x+2=0$ tiene tres raíces reales, lo cual es fácil de demostrar. Por el método de Cardano, una de las raíces es justo la expresión anterior. Por tanto, debe ser real. Sin embargo, si no creemos en la existencia de los números complejos, la expresión no es real, porque no existe.

Answer 2

Dejemos que $$r = (-1 + \sqrt{-7})^{1/3} + (-1 - \sqrt{-7})^{1/3},$$ donde por $\sqrt{-7}$ nos referimos a algún número $x$ cuyo cuadrado es $-7$ ; es decir, $x^2 = -7$ . Recordemos la identidad $$(a^{1/3} + b^{1/3})^3 = a + b + 3(ab)^{1/3}(a^{1/3} + b^{1/3}).$$ En consecuencia, $$r^3 = -2 + 3((-1)^2 + 7)^{1/3}r = 6r - 2.$$ Consideremos ahora la identidad trigonométrica $$\begin{align*} \cos 3\theta &= \cos \theta \cos 2\theta - \sin \theta \sin 2\theta \\ &= \cos^3 \theta - \cos \theta \sin^2 \theta - 2 \sin^2 \theta \cos \theta \\ &= \cos^3 \theta - 3 \cos\theta \sin^2 \theta \\ &= \cos^3 \theta - 3 \cos\theta (1 - \cos^2 \theta) \\ &= 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta. \end{align*}$$ Esto sugiere la elección $r = 2 \sqrt{2} \cos \theta$ da $$\begin{align*} r^3 - 6r + 2 &= 16 \sqrt{2} \cos^3 \theta - 12 \sqrt{2} \cos \theta + 2 \\ &= 4 \sqrt{2} (4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta) + 2 \\ &= 4 \sqrt{2} \cos 3\theta + 2 = 0. \end{align*}$$ En consecuencia, $$\theta = \frac{1}{3}\cos^{-1}\left( - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right),$$ por lo que $$r \in 2 \sqrt{2} \cos \left( \frac{1}{3} \cos^{-1} \left( - \frac{1}{2\sqrt{2}} \right) + \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2,$$ todos los cuales son valores reales. Por supuesto, este resultado presupone que las reglas que nos permiten trabajar con números reales también funcionan para números como $\sqrt{-7}$ . Para ser completamente riguroso, en mi opinión, se requiere un tratamiento axiomático de los números complejos. En realidad, lo anterior sólo demuestra que $r$ es real si las reglas que utilizamos para la aritmética se extienden a dichos valores.

Answer 3

Creo que es una exageración afirmar que este resultado se puede demostrar sin números complejos, especialmente por la presencia de $\sqrt{-7}$ . De todos modos, esta es una forma de verlo. Dejemos que $A = \sqrt[3]{-1 + \sqrt{-7}}$ y $B = \sqrt[3]{-1 - \sqrt{-7}}$ . Si $t = A + B$ entonces $$t^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A + B) = (-1 + \sqrt{-7}) + (-1 - \sqrt{-7}) + 3t\sqrt[3]{1 - (-7)} = -2 + 6t$$ Así que $t$ es una raíz de la cúbica $x^3 - 6x + 2$ . Dejemos que $f(x) = x^3 - 6x + 2$ . Entonces $f(-3) = -7 < 0$ , $f(0) = 2 > 0$ , $f(1) = -3 < 0$ y $f(3) = 11 > 0$ . Por lo tanto, por el teorema del valor intermedio, $f$ tiene tres raíces reales. Por lo tanto, $t$ es real.