Cómo encontrar$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(2x)}{\sin^2{(3x)}}$ sin la Regla de L'Hopital.

Question

Cómo calcularías $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(2x)}{\sin^2{(3x)}}$ sin de L'Hospital de la Regla?

La forma en que el problema está configurado, que me hace pensar que me gustaría probar y utilizar el hecho de que

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0$ o $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$

Entonces, una idea que hice fue multiplicar la parte superior e inferior por $2x$ así:

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(2x)}{\sin^2{(3x)}}\cdot\frac{2x}{2x}$.

Entonces yo dejaría $\theta=2x$:

$\displaystyle\lim_{\theta \to 0}\frac{1-\cos(\theta)}{\sin^2{(\frac{3}{2}\theta)}}\cdot\frac{\theta}{\theta}$

que me deja romper:

$\displaystyle\lim_{\theta \to 0}\frac{1-\cos(\theta)}{\theta}\cdot \frac{\theta}{\sin^2(\frac{3}{2}\theta)}$

Así que fue capaz de extraer un trigonométricas límite es cero o al menos se ve. La segunda parte se necesita más trabajo. Mi inmediata sospecha fue, tal vez, todo límite se pondrá a cero, pero al comprobar con L'Hospital de la Regla, tengo $\frac{2}{9}$..... :/

Answer 1

Prueba también este: con$$1-\cos2t=2\sin^2t$ $ luego$$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(2x)}{\sin^2{(3x)}}=\lim_{x \to 0}\frac{2\sin^2x}{\sin^23x}\times\dfrac{(3x)^2}{2(x)^2}\times\dfrac{2}{9}=\lim_{x \to 0}\frac{2\sin^2x}{2(x)^2}\times\dfrac{(3x)^2}{\sin^23x}\times\dfrac{2}{9}=\color{blue}{\dfrac{2}{9}}$ $

Answer 2

Observe que

$$ \frac{1 - \cos t}{t^2} = \frac{1 - \cos t}{t^2} \cdot \frac{1 + \cos t}{1 + \cos t} = \frac{1 - \cos^2 t}{t^2(1 + \cos t)} = \frac{\sin^2 t}{t^2} \cdot \frac{1}{1 + \cos t}. $$

Por lo tanto

$$ \lim_{t \to 0}\frac{1 - \cos t}{t^2} = \frac{1}{2}. $$

Volviendo a tu problema:

$$ \frac{1 - \cos(2x)}{\sin^2 (3x)} = \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} \cdot \frac{x^2}{\sin^2(3x)} = 4 \cdot \frac{1 - \cos(2x)}{(2x)^2} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{(3x)^2}{\sin^2(3x)}. $$

Ahora toma el límite...

Answer 3

Como en las otras soluciones,$$\frac{1-\cos2x}{\sin^23x}=2\left(\frac{\sin x}{\sin 3x}\right)^2.$ $ Pero$$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x.$ $ Por lo tanto,$$\frac{1-\cos2x}{\sin^23x}=2\left(\frac{1}{3-4\sin^2x}\right)^2\to\frac29$ $ as$x\to0$.

Answer 4

$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots \approx x ,\text{as } x \to 0$

es decir $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin x = x \implies \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1−\cos(2x)}{\sin^2(3x)}=\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2x }{\sin^2(3x)}=\dfrac29\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin^2x}{x^2} }{\dfrac{\sin^2(3x)}{(3x)^2}}=\dfrac29\dfrac{\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2 }{\displaystyle\lim_{3x \to 0}\left( \dfrac{\sin(3x)}{3x}\right)^2}=\dfrac29$

Answer 5

Expansión de Taylor: $$ \ lim_ {x \ to0} \ frac {1- \ cos2x} {\ sin ^ 23x} = \ lim_ {x \ to0} \ frac {1- \ left (1- \ dfrac {(2x) ^ 2} {2!} + O (x ^ 2) \ derecha)} {\ izquierda (\ dfrac {3x} {1!} + O (x) \ derecha) ^ 2} = \ lim_ {x \ to0} \ frac {2x ^ 2 + o (x ^ 2)} {9x ^ 2 + o (x ^ 2)} = \ frac {2} {9} $$ De una manera diferente, use$1-\cos2x=2\sin^2x$, así que obtienes $$ \ lim_ {x \ to0} 2 \ left (\ frac {\ sin x} {\ sin3x} \ right) ^ 2 $$ Ahora $$ \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin x} {\ sin 3x} = \ lim_ {x \ to0} \ frac {1} {3} \ frac {\ sin x} {x} \ frac {3x} {\ sin 3x} = \ frac {1} {3} $$