¿Cuál es la idea detrás de la cuantización canónica?

Question

Por lo que yo entiendo, de cuantización canónica de una teoría clásica consiste en la sustitución de las características observables por el resumen de los operadores, de las cuales sólo las reglas de conmutación, los cuales corresponden a los corchetes de Poisson, se dan.

Supongo que esto asegura que, en el límite macroscópico de que nos recuperemos de la mecánica clásica (por el teorema de Ehrenfest). A partir de estos abstracto operadores también podemos recuperar la dinámica, el tiempo de evolución operador es $e^{iHt/\hbar}$, la incertidumbre de la relación es $$\sigma_A\sigma_B ~\ge~ {1\over2}\left|\langle [A,B]\rangle\right|$$ and (in the Heisenberg picture) the time evolution of an observable is $$i\hbar\frac{dA}{dt} = [A,H]+i\hbar\frac{\partial A}{\partial t}.$$

Alternativamente, se puede empezar por construir explícitamente el espacio de estado como una función del espacio, las características observables como los operadores en ese espacio (por lo que algunas estándar de sustituciones, teniendo cuidado de Hermiticity, etc) y uno observa que las mismas relaciones de conmutación espera.

Mi pregunta es si en el primer enfoque, hace uno desprenderse completamente de la descripción explícita de espacio de Hilbert como una función del espacio y de los operadores como explícitas de los operadores en este espacio, y en su lugar se trabaja con "el" (resumen) el espacio de Hilbert y operadores de las cuales sólo se necesita especificar las relaciones de conmutación? O es en realidad la misma cosa, y en última instancia, siempre se necesita la descripción explícita a derivar algunas de las propiedades del sistema.

He estado luchando para hacer mi pregunta, claro, si no es así, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Vamos a tomar el canónica relaciones de conmutación (CCR), en su exponentiated forma (Weyl relaciones de la):

$$V(\eta)T(q)=e^{-i\eta\cdot q}T(q)V(\eta)\; ,$$

donde $\{V(\eta)\}_{\eta\in \mathbb{R}^d}$ e $\{T(q)\}_{q\in \mathbb{R}^d}$ son objetos de una determinada normativa álgebra con la involución. Este es un concepto general, que hoy en día es tomado como la definición de la CCR. Si tomamos el exponenciales de la posición y el impulso de los operadores de $V(\eta)=e^{i\eta\cdot x}$ e $T(q)=e^{i q\cdot (-i\nabla_x)}$ en $L^2(\mathbb{R}^d)$ vemos que satisfacen la Weyl relaciones, y son objetos de la $C^*$ álgebra de operadores acotados en ese espacio.

Ahora vamos a empezar con $W=\{V(\eta), T(q)\}_{\eta, q\in \mathbb{R}^d}$, y la construcción de la $C^*$ álgebra $V$ que contiene $W$, es decir, $V=\overline{W}$ (el cierre de $W$ en la norma $\lVert \cdot\rVert$ de nuestros objetos). Esto se llama el CCR $C^*$ álgebra. Así que, como pueden ver, el punto de partida es muy abstracto, y que está dado por esta CCR $C^*$ álgebra.

Ahora es posible mostrar que cada una de las $C^*$ álgebra tiene al menos una representación fiel como una subalgebra de los operadores acotados en algún espacio de Hilbert (el llamado GNS de la construcción).

Otro resultado notable es la Piedra-teorema de von Neumann, que dice que todos los irreductible (es decir, que el único subespacio invariante bajo la acción de los operadores es el vector cero) las representaciones de la CCR álgebra unitarily equivalente (es decir, relacionados por una transformación unitaria) y a su vez equivalente a la representación dada por la posición normal, y el impulso de los operadores en $L^2(\mathbb{R}^d)$ me dio anteriormente.

Puesta en común de los resultados, es evidente que es suficiente para dar el CCR álgebra, porque siempre es representado irreductibly (hasta unitario isomorphisms) por el canónica de la posición y el impulso de los operadores en $L^2$. También, el concepto de estados cuánticos está directamente relacionado con el $C^*$ algebra de variables observables (que es un subconjunto de su dual topológico); y los estados normales (un subconjunto de la predual de von Neumann álgebra $V''$, y de los estados cuánticos) están en una correspondencia uno a uno con la densidad de las matrices en la correspondiente representación.

Sobre la evolución y el límite clásico (en relación a la dinámica clásica), estos conceptos son más fáciles de entender, utilizando el punto de vista de semiclásica de análisis, es decir, el estudio de la (Weyl, Mecha, anti-Mecha) la cuantificación de los clásicos símbolos en pseudodifferential operadores, y su semiclásica expansiones. Sin embargo, el quantum de la evolución puede ser visto como un automorphism de la $C^*$ algebra de variables observables (o de los estados cuánticos) que satisface cierta regularidad supuestos.

Comentario: la Piedra-von Neumann teorema es válido sólo para "finito dimensionales" Weyl relaciones, es decir, si $\eta,q \in \mathbb{R}^d$ (el resultado puede ser extendido por Mackey teoría a cualquier localmente compacto grupo). Por ejemplo, si consideramos el análogo de "infinito dimensional" CCR álgebra generada por $$W(\psi)W(\phi)=e^{-i\mathrm{Im}\langle\psi,\phi\rangle}W(\psi+\phi)\; ,$$ donde $\psi,\phi\in \mathscr{H}$, $\mathscr{H}$ de infinitas dimensiones espacio de Hilbert, tenemos infinidad de unitarily no equivalentes representaciones irreducibles. En esa situación (este es el caso de bosonic campo cuántico CCR), tenemos otras representaciones que no equivalentes a la de Schrödinger (o la Fock); y por lo tanto se convierte en crucial para que vea la teoría cuántica como la teoría generada por el álgebra de (no conmutativa) observables.