Velocidad del satélite para estrellarse contra la tierra.

Question

Estaba leyendo este post de hoy y estaba muy impresionado por la respuesta que había dado. Sin embargo, ¿qué tendría que suceder para que la velocidad en orden a chocar con la Tierra?

La velocidad de los satélites superiores a las requeridas velocidad

Yo era pensar en la configuración de una ecuación de la siguiente manera. Si los cambios en la órbita de una órbita circular a una cierta altura $h$ con una velocidad de $v$, entonces una órbita elíptica se producirá si la velocidad disminuye a $\lambda v$, para algunas de las $\lambda \in (0,1)$.

Desde el post anterior, sabemos que la original de velocidad está dada por $$v_0^2 = \frac{GM}{R_E+h}$$ and the new velocity is given by $$\lambda^2 v_n^2 = \lambda^2 \Bigg ( GM \Bigg ( \frac{2}{R_E+h} - \frac{1}{a} \Bigg ) \Bigg ).$$ Therefore, solving $$\lambda^2 v_n^2 \leq \frac{GM}{R_E}.$$ Should yield a viable restriction on $\lambda^2$.

Pero esto no me da lo que quiero. Un satélite debe chocar con la tierra si se rompe a través de la atmósfera, me.e al $h < R_E + R_A$ donde $R_A$ es la atmosférica altura.

¿Cómo puedo determinar el $R_A$ a partir de la teoría general?

Soy consciente de que la velocidad de escape es dado por $V_E = \sqrt{\frac{GM}{R_E+h}}$.

Answer 1

Todo lo que necesitas hacer es calcular el perigeo distancia $r_p$ que es la distancia más cercana de enfoque. Entonces si $r_p < R_A$ el satélite va a estrellarse y arder.

Una vez más partimos de la vis viva ecuación:

$$ v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) \tag{1} $$

El parámetro $a$ es el semi-eje mayor de la elipse, y está relacionado con el perigeo y el apogeo de los radios como se muestra a continuación:

Por lo tanto tenemos:

$$ 2a = r_p + r_a $$

lo que convierte a la vis-viva la ecuación (1) en:

$$ v^2 = 2GM\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_p + r_a} \right) $$

En el apogeo $r = r_a$ e $v = v_a$ y ponerlos en nuestra nueva ecuación, se obtiene:

$$ v_a^2 = 2GM\left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_p + r_a} \right) $$

Y sólo necesitamos reorganizar esto para obtener la ecuación para el perigeo de la distancia:

$$ r_p = \frac{r_a}{\frac{2GM}{v_a^{\,2}r_a} - 1} \tag{2} $$

Ahora echemos un vistazo a tu pregunta específica. Vamos a llamar a la radio de impacto $R$ donde $R$ sería de al menos el radio de la Tierra, pero un poco más grande para tomar en cuenta a la atmósfera. Así que estamos buscando la órbita con el perigeo distancia $r_p=R$. El satélite comienza en una órbita circular en un radio de $r_0$, por lo que la velocidad orbital es:

$$ v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$

Y nos preguntamos qué sucede si queremos reducir la velocidad a $\lambda v_0$. Todo lo que tenemos que hacer es tomar la ecuación (2) y sustituir por la nueva velocidad $v=\lambda v_0$, el apogeo de radio $r_a=r_0$ y establecer el perigeo radio a la radio de colisión $r_p=R$ y obtenemos:

$$ R = \frac{r_0}{\frac{2GM}{\lambda v_0^{\,2}r_0} - 1} $$

Y en la sustitución de $v_0=\sqrt{GM/r_0}$ esto se simplifica a:

$$ R = \frac{r_0}{\frac{2}{\lambda} - 1} $$

Y reorganizando para $\lambda$ le da:

$$ \lambda = \frac{2R}{R+r_0} \tag{3} $$

Así que, dado que su primera circular de radio orbital $r_0$ la ecuación (3) indica el valor de $\lambda$ usted necesita para hacer de su satélite crash and burn.