¿Por qué es $z = x+iy \mapsto x$ no diferenciable en $0 \in \mathbb{C}$ ?

Question

Hoy tuvimos una prueba en línea y una de las preguntas era si la función $$z = x+iy \mapsto x$$ es diferenciable en $0 \in \mathbb{C}$ . Se me ocurrió comprobarlo utilizando nuestra definición de diferenciabilidad compleja y llegué a la conclusión, que $$\lim_{z \to 0} \frac{\Re(z)}{z}=1.$$ Incluso lo comprobé a través de wolframalpha después y también me lo dijo. Sin embargo, esto se consideró erróneo, porque aparentemente no se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es decir $$1 = \partial_x \Re f(0) \neq \partial_y \Im f(0)=0.$$ En primer lugar, consulté la wikipedia para saber cómo eran estas ecuaciones y encontré que, efectivamente, "una función compleja es diferenciable en un punto" es equivalente a "una función compleja cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann". Esto me parece incoherente. No veo cómo el límite no existe. ¿Por qué no existe?

Gracias por cualquier respuesta de antemano.

Answer 1

Como otros han insinuado, creo que el punto que se te escapa es que para que ese límite exista, tiene que existir y tener el mismo valor independientemente de cómo sea la variable $z$ se acerca a 0. Las definiciones son coherentes :-) Es su afirmación de que $\lim_{z\to 0} \Re(z)/z = 1$ que es falso. Considere $z=0+it$ y que $t$ tienden a $0$ .

Answer 2

Esta función es lineal y su derivada $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ es $$\Big( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&0\\ \end{array} \Big) $$ que no es un número complejo, es decir, que no es de la forma $$\Big( \begin{array}{cc} a&-b\\ b&a\\ \end{array} \Big) $$