Deje$\angle BAC =90 ^{\circ} AB=15 ,CD=10 ,AD=5$ Entonces$OA=?$

Question

Deje$\angle BAC =90 ^{\circ} AB=15 ,CD=10 ,AD=5$ Entonces$OA=?$

Answer 1

$O$ se encuentra en el círculo de diámetro $AB$ y también en el círculo de diámetro $CD$, por lo tanto debe ser uno de sus intersecciones (si los hubiere). Pero tales círculos son tangentes, como la suma de sus radios es igual a la distancia $EF$ entre sus centros. De ello se desprende que $O$ es el común punto de tangencia entre los círculos y se encuentra por lo tanto en $EF$.

Por semejanza de triángulos (ver diagrama a continuación), entonces es inmediato calcular $OG=3$ e $OH=6$. Por lo tanto $AO=\sqrt{OG^2+OH^2}=3\sqrt5$.

Answer 2

$A = (0,0)\\ B = (15,0)\\ C = (0,15) D = (0,5)\\ S = (x,y)\\ (x,y)\cdot(x-15,y) = 0\\ x^2 + y^2 = 15x\\ (x,y-5)\cdot(x,y-15) = 0\\ x^2 + y^2 - 20y + 75 = 0\\ 20y = 15 x + 75\\ y= \frac 34 x + \frac {15}{4}\\ x^2 + (\frac 34 x + \frac {15}{4})^2 = 15x\\ 16x^2 + (3 x + 15)^2 = 240x\\ 25x^2 + (90-240) x + 225 = 0\\ x^2 -6x + 9 = 0\\ (x-3)^2 = 0\\ x = 3\\ y = \frac 94 + \frac {15}{4} = 6\\ \|OA\| = \sqrt {3^2 + 6^2} = 3\sqrt 5$

Si no has aprendido acerca de Euclidiano interior de los productos, podemos hacerlo con el teorema de Pitágoras

$\|AO\|$ es la longitud de $AO$

$\|AO\| = \sqrt {x^2 + y^2}\\ \|OB\| = \sqrt {(15-x)^2 + y^2}\\ \|AO\|^2 + \|OB\|^2 = \|AB\|\\ x^2 + y^2 + x^2 - 30 x + 15^2 + y^2 = 15^2\\ x^2 + y^2 = 15 x$

y del mismo modo

$\|HACER\|^2 + \|OC\|^2 = \|CC\|\\ x^2 + (y-5)^2 + x^2 + (y-15)^2 = 10^2\\ 2x^2 + y^2 - a 10 años + 25 y^2-30 y + 225 = 100\\ 2x^2 + 2y^2 - 40y + 150 = 0\\ x^2 + y^2 - 20y + 75 = 0$

Answer 3

\begin{align} x=|OA|&=|CO_1|=|A_1O_2|=|BO_3| . \end{align}

Dejar $|AD|=a$, $|DC|=2a$.

\begin{align} |CO|&=2a\cos\theta ,\\ |AO|=|CO_1|&= \sqrt{(3\,a)^2+(2a\,\cos\theta)^2-2\cdot3\,a\cdot(2\,a\,\cos\theta) \cdot\cos\theta} \\ &=a\,\sqrt{9-8\,\cos^2\theta} ,\\ |AO_1|&=\sqrt{|AC|^2-|CO_1|^2} \\ &=\sqrt{(3a)^2-a^2\,(9-8\cos^2\theta)} \\ &=2\sqrt2\,a\,\cos\theta ,\\ |OO_1|&= \sqrt{|CO|^2-|CO_1|^2} \\ &=\sqrt{12\,a^2\cos^2\theta-a^2\,(9-8\,\cos^2\theta)} \\ &=a\,\sqrt{4\cos^2\theta-9} ,\\ [ACA_1B]=(3a)^2&= 2\,|CO_1|\,|AO_1|+|OO_1|^2 \\ &= 2\,a\,\sqrt{9-8\,\cos^2\theta} \cdot 2\sqrt2\,a\,\cos\theta +\left(a\,\sqrt{12\cos^2\theta-9}\right)^2 . \end{align}

La última ecuación se simplifica a \begin{align} -18&+4\sqrt2\sqrt{9-8\cos^2\theta}\,\cos\theta +12\,\cos^2\theta=0 ,\\ (18-12\,\cos^2\theta)^2 &= 32\,(9-8\cos^2\theta)\,\cos^2\theta ,\\ 4\,(10\cos^2\theta-9)^2&=0 ,\\ \cos^2\theta&=\tfrac9{10}, \\ \text{and }\quad |AO|&= a\,\sqrt{9-8\,\cos^2\theta} = 5\,\sqrt{9-8\cdot\tfrac9{10}} =3\,\sqrt5 . \end {align}