¿Cociente de$\mathbb{R}^n$ con una clase de equivalencia sin límites homeomorfo a$\mathbb{R}^n$?

Question

Deje $X=\mathbb{R}^n$. Supongamos $X$ tiene una relación de equivalencia $\sim$ de manera tal que al menos una clase se compone de una línea (a $1$-D subespacio) a través del origen. Si $X^*=X/{\sim}$, es posible que $X$ a ser homeomórficos a $X^*$?

Mi intuición me dice que no ya que $X^*$ pellizca un ser infinitamente larga línea a un punto, y es bien conocida una recta y un punto no homeomórficos, aunque esto no se aplican verdaderamente aquí ya estamos en dimensiones superiores, por lo que la cardinalidad argumento no se aplica. Wikipedia tiene un buen larga lista de invariantes topológicos, aunque ninguno de ellos de inmediato salió a mí como dar una respuesta a la pregunta (aparte de la $n=1$ caso como se ha señalado). Una vez invariante me hizo venir a través de la era 'topológica de la homogeneidad", pero parece que en el principio de que demostrando $X^*$ no es topológicamente homogénea en general no es una tarea pequeña (o incluso convencer a mí mismo es la verdad).

No he sido capaz de encontrar un ejemplo por ahora, pero ya ha pasado algún tiempo desde que yo asumí la topología. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Yo thunk la respuesta es sí para $n=2$, Definir un mapa continuo $f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ tomar cada línea vertical de constante positiva $x$valor $r$ y se envuelve alrededor de la circunferencia de radio $r$ con el de más a la derecha del punto en el origen. Hay varias maneras de hacer esto. Nota, a continuación, el $y$-eje se asigna a la de origen. Definir la función para la mitad izquierda del plano-por simetría. A continuación, utilice la equivalencia de la relación de $x\sim y \iff f(x)=f(y)$. Se puede demostrar que $f$ es continua? Necesitamos esto para hacer que el cociente de un espacio igual al de la imagen.

Answer 2

Déjenme elaborar Daron la respuesta y mostrar de manera más general que para cualquier $n$, existe un cociente mapa de $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ tal que una de las clases de equivalencia que contiene un hyperplane. Este es trivial para $n\leq1$, así que voy a suponer $n>1$. En primer lugar, permítanme dar un criterio para un mapa para ser un cociente de mapa.

Lema: Vamos a $Y$ ser una compacta generado espacio de Hausdorff, y deje $f:X\to Y$ ser un continuo surjection para cada compacto $K\subseteq Y$, no es un compacto $L\subseteq X$ tal que $K\subseteq f(L)$. A continuación, $f$ es un cociente de mapa.

Prueba: Supongamos $U\subseteq Y$ es tal que $f^{-1}(U)$ está abierto. Desde $Y$ es generado de forma compacta, es suficiente para mostrar $U\cap K$ está abierto en $K$ para cualquier compacto $K\subseteq Y$. Elegir un conjunto compacto $L\subseteq X$ tal que $K\subseteq f(L)$. Tenga en cuenta que desde $L$ es compacto y $Y$ es Hausdorff, la restricción de $f$ a $L\to f(L)$ es un cociente de mapa. Ahora $f|_L^{-1}(U\cap f(L))=f^{-1}(U)\cap L$ está abierto en $L$, y, por tanto, $U\cap f(L)$ está abierto en $f(L)$. De ello se desprende que $U\cap K$ está abierto en $K$, como se desee.

Ahora vamos a construir un cociente mapa de $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$. En primer lugar, vamos a $g:\mathbb{R}^{n-1}\to S^{n-1}$ ser un continuo surjection que por otra parte es todavía surjective cuando restringidas a algunos subconjunto compacto $A\subset\mathbb{R}^{n-1}$ (es fácil ver que esto es posible para $n>1$). Definir $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ por $f(t,x)=tg(x)$ para $t\in\mathbb{R}$ e $x\in\mathbb{R}^{n-1}$. A continuación, $f$ es continua y surjective, y es fácil ver que satisface las hipótesis del lema (cualquier subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$ está contenido en $f([0,N]\times A)$ para $N$ suficientemente grande). Por lo tanto $f$ es un cociente de mapa. Por otra parte, $f$ es constante en la hyperplane $t=0$.