Hola necesito mostrar una identidad y un límite. Estoy teniendo problemas con él.
notación:
$x_i$ es la i-ésima coordenada de $x$
$B(x,r)$ bola con centro de $x$ y radio de $r$
$S(x,r)$ esfera con centro $x$ y radio de $r$
$n_y$ integral significa que la unidad exterior de la normal en el punto de $y$
$dS_y$ estándar de la medida de superficie con $y$ como la integración de la variable
Deje $\partial M$ ser cerrado de la superficie en $\mathbb{R}^3$. Que muestran que esta identidad se mantenga $$ x_i = \frac{\int_{\partial M} \frac{y_i}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y}{\int_{\partial M} \frac{1}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y} $$ Y deje $f$ ser función continua definida sólo en $\partial M$. Que muestran que $g$ es continua en $\overline{M}$. Donde $g$ es: $$ g(x) = \frac{\int_{\partial M} \frac{f(y)}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y}{\int_{\partial M} \frac{1}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y} $$
De referencia donde tengo este problema. Estoy leyendo este documento que define la función $g$ y que sólo comentar que es continuo debido a $\frac{1}{\| y-x \|}$ va al infinito como $y$ enfoques $x$.
Además de que escribió esas integrales en manera muy divertida que no comprendo. Estoy teniendo problemas cuando la superficie de la $\partial M$(que denotan es $P$) no es estrictamente convexa. Pero eso no es importante.
Ok, así que la identidad de la primera. Es más conveniente escribir en este formulario:
$$ \int_{\partial M} \frac{y_i-x_i}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y = 0$$
Intuitivamente esta parte: $n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y$ es $dS_y$ proyectado en el ámbito de la unidad de radio y centro $x$ y $\frac{y_i-x_i}{||y-x||}$ es sólo exterior normal de esa esfera.
De modo que la integral es casi esta: $\int_{S(x,1)}n_y dS_y$ que es cero. Pero el problema es que en el original integral de ejecutar por algunos lugares varias veces e incluso en orientación inversa.
El único problema con $g$ es para demostrar que es continua en el límite $\partial M$. Así que tenemos que hacer con el límite de:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0, x\in M} \frac{\int_{\partial M} \frac{f(y)}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y}{\int_{\partial M} \frac{1}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y} \overset{?}{=} f(x_0) $$
Que podemos reescribir como:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0, x\in M} \frac{\int_{\partial M} \frac{f(y)-f(x_0)}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y}{\int_{\partial M} \frac{1}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y} \overset{?}{=} 0 $$
Lo que yo trato: Para dar a $\epsilon$ me tome $\delta$ que $|x_0-y|<\delta \Rightarrow |f(x_0)-f(y)|<\epsilon$
Entonces me separé de la integral:
$$\left| \frac{\int_{\partial M\setminus B(x_0,\delta)} \frac{f(y)-f(x_0)}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y + \int_{\partial M \cap B(x_0,\delta)} \frac{f(y)-f(x_0)}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y }{\int_{\partial M} \frac{1}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y} \right| \leq $$
$$ \frac{ \left| \int_{\partial M\setminus B(x_0,\delta)} \frac{f(y)-f(x_0)}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y \right| + \left|\int_{\partial M \cap B(x_0,\delta)} \frac{f(y)-f(x_0)}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y \right| }{ \left|\int_{\partial M} \frac{1}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y \right|} \leq $$
$$ \frac{ \left| \int_{\partial M\setminus B(x_0,\delta)} \frac{f(y)-f(x_0)}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y \right| }{ \left|\int_{\partial M} \frac{1}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y \right|} + \epsilon $$
Pero no puedo encontrar cualquier obligado para la segunda parte. Probablemente estoy haciendo es completamente equivocado. Tal vez incluso esta desigualdad es malo.
$$ \frac{ \int_{\partial M \cap B(x_0,\delta)} \left| \frac{1}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} \right| dS_y }{ \left|\int_{\partial M} \frac{1}{||y-x||} n_y \cdot \nabla_y \frac{1}{||y-x||} dS_y \right|} \leq 1 $$
El tal vez puede ser algo terriblemente mal con la superficie de la $\partial M$, por lo que esta desigualdad se produce un error. No sé. Cualquier ayuda sería muy apreciada.
