Primas $p$ y $q$ tal que $p^3+27pq^2-q^3=2017$

Question

Encontrar todos los primos $p$ y $q$ tal que $$p^3 + 27pq^2 - q^3 = 2017.$$

Intenté usar el mod $3$ para resolver esto, sin embargo seguí dando vueltas. También intenté usar desigualdades, pero no pude encontrar una solución.

¿Alguna idea?

Answer 1

Después de reducir el módulo $27$ obtenemos $p^3-q^3 \equiv 19 \pmod{27}$ Utilizando el hecho de que los únicos cubos modulo $27$ de elementos no divisibles por $3$ son 1,8,10,17,19,26 vemos que $p^3 - q^3 \equiv 19 \pmod{27}$ no tiene soluciones cuando ambos $p$ y $q$ son coprimos a $3$ Por lo tanto, o bien $p=3$ o $q=3$ .

Supongamos que $p=3$ y después de introducir y reordenar, obtenemos $q^2\cdot(81-q) = 1990$ Pero hay que tener en cuenta que el RHS $1990=2\cdot5\cdot199$ es libre de cuadrados, por lo que esto es imposible, por lo que debemos tener $q=3$ .

Así que después de enchufar y reajustar obtenemos $p^3+243p=2044$ . Por ensayo y error, encontramos que $p = 7$ es una solución. Como la función $f(x) = x^3+243x$ tiene una derivada estrictamente positiva $x$ es estrictamente creciente, por lo que encontramos que ésta es de hecho la única solución.

Así que la única solución es $p=7, q=3$