Encuentra límite en el uso de integrales

Question

Buscar límite $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} x^5 \cdot \arctan{(nx)} dx $

Del teorema del valor medio tenemos $$ \frac{1}{2} c^5 \cdot \arctan{(nc)} \mbox{ for some c } \in (-1,1) $ $

PS

Así que este límite no me ayuda. ¿Alguien tiene una mejor idea de cómo atar eso?

Answer 1

Vamos a simplificar con $y=nx$ . La integración por partes da $$\int y^5\arctan ydy=\frac{y^{6}}{6}\arctan y-\frac{1}{6}\int\frac{y^{6}}{1+y^{2}}dy\\=\frac{y^{6}}{6}\arctan y-\frac{1}{6}\int\left(y^{4}-y^{2}+1-\frac{1}{1+y^{2}}\right)dy\\=\frac{y^6+1}{6}\arctan y-\frac{1}{30}y^5+\frac{1}{18}y^3-\frac16 y+C.$$Hence $$\frac{1}{n^6}\int_{-n}^n y^5\arctan ydy=\frac{\frac{n^6}{3}\arctan n+o(n^6)}{n^6}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{1}{3}\arctan\infty=\frac{\pi}{6}.$$But it seems such a shame to compute the antiderivative's irrelevant polynomial terms. So for an alternative strategy, let's write the problem as $ 2 \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_0 ^ 1 x ^ 5 \ arctan nxdx$ (since the integrand is even), which by dominated convergence is $% PS

Answer 2

Consejo: para la integral $$\int_{-1}^{1}x^5\arctan(nx)dx$ $ obtenemos $$ \ frac {15 \ left (n ^ 6 +1 \ right) \ tan ^ {- 1} (n) -3 n ^ 5 +5 n ^ 3 -15 n} {45 n ^ 6} $$