Encuentre la geometría de las curvas de las líneas de contorno de$f(x) = \frac{1}{2}x^tAx + b^tx + c$

Question

Encontrar la geometría de las curvas de las líneas de contorno de una ecuación cuadrática la función $$f(x) = \frac{1}{2}x^tAx + b^tx + c$$ where $Un \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$, $b\in \mathbb{R}^2$ and $c\in \mathbb{R}$ en los siguientes casos:

• $A>0$

• $A\ge 0$ y no existe $x$ tal que $Ax+b = 0$

• $A\ge 0$ e no es $x$ tal que $Ax + b = 0$

• $A$ es indefinido y no singular.

Supongo que $^t$ es la transpuesta. ¿Qué es $A>0$?

Estoy tratando de desarrollar una técnica para ver esto. Si escribimos $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c\\ \end{bmatrix}$, entonces la función se convierte en

$$f((x_1,x_2)) = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ b & c\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 & b_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ \end{bmatrix} + d = \\ \frac{1}{2}(ax_1^2 + 2bx_1x_2 + cx_2^2) + b_1x_1 + b_2x_2 + d $$

Yo no sé si se puede simplificar $(ax_1^2 + 2bx_1x_2 + cx_2^2)$. Yo creo que no. Tal vez es una forma de su propia y debo reconocer. Me delgada me puede ver como aproximados $x^2 + y^2$ en todas partes ya que crecen mucho más rápido que $xy$. De modo que el contorno de aquí sería círculos? Es allí una manera más precisa de dibujo el contorno? No puedo suponer que estás círculos, necesito encontrar lo que verdaderamente son.

De todos modos, $A>0$ implica que el $\frac{1}{2}(ax_1^2 + 2bx_1x_2 + cx_2^2)>0$ derecho?

Y $A\ge 0 \implies \frac{1}{2}(ax_1^2 + 2bx_1x_2 + cx_2^2)\ge 0$, y la condición no existe $x$ tal que $Ax+b=0$ significa que existe $x$ tales que $\begin{bmatrix} ax_1 + bx_2 + b_1 \\ ax_2 + bx_1 + b_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ \end{bmatrix}\implica ax_1 + bx_2 + b_1 = 0, ax_2 + bx_1 + b_2 = 0$

Lo que esto debería decirme?

$A$ siendo indefinido y no en singular significa una arbitraria nonsingular matriz, supongo. Así que el invertibility o el determinante de $A$ juega aquí un importante papel.

Answer 1

En la optimización de la comunidad, $A > 0$ (donde $A$ es una matriz), o más comúnmente escrito como $A \succ 0$, generalmente significa $A$ es positiva definida. También, $A \succeq 0 $ significa positiva semidefinite.

Observe que $\nabla f(x) = Ax+b$ e $\nabla^2 f(x) = A$.

Si $A \succ 0$, tenemos un muy convexo función cuadrática. Las curvas deben ser elipses. Pueden ser muy alargada si la condición número es grande.

Si $A \succeq 0$ pero $A \not \succ 0$, entonces al menos uno de los autovalores es $0$.

• Si hay un $x$ tal que $\nabla f(x)=0$, hay varias soluciones para el sistema de $$\nabla f(x)=Ax+b=0$$ es como una parabólica de la hoja con varios puntos mínimos. También es posible que la función de ser constante en todas partes.

• Supongamos que no hay $x$ tal que $\nabla f(x)=0$, por ejemplo, cuando se $A=0, b \ne 0$, no hay ningún punto mínimo, el problema es ilimitado.

El más ambiguo parte sería la palabra "no definido". Me imagino que a de ser por tiempo indefinido. Si tenemos un autovalores positivos y negativos autovalor, tenemos un punto de silla.

Editar:

Generalmente, positiva definida y positiva semidefinite matrices referirse al caso en que las matrices son simétricas y sabemos que existen matrices ortogonales $U$ tal que $A=UDU^T$ donde $D=\mbox{diag}(\lambda_1, \lambda_2)$ es una matriz diagonal que consta de los autovalores.

$$f(x) = x^TAx+b^Tx+c=x^TUDU^Tx+b^TUU^Tx + c$$

Deje $y= U^Tx$ e $p = U^Tb$. Puede que se desee estudiar

\begin{align}g(y)&=y^TDy+p^Ty+c \\ &= \sum_{i=1}^2 (\lambda_i y_i^2 + p_i y_i)+c\end{align}

Si $A \succ 0 $, entonces todos los valores propios son positivos.

\begin{align}g(y) &= \sum_{i=1}^2 \lambda_i \left( y_i^2 + \frac{p_i}{\lambda_i} y_i\right)+c \\ &= \sum_{i=1}^2 \left[ \lambda_i\left( y_i + \frac{p_i}{2\lambda_i} \right)^2 - \lambda_i\left( \frac{p_i^2}{4\lambda_i^2}\right)^2\right]+c\end{align}

Deje $z_i = y_i + \frac{p_i}{2\lambda_i}$ e $q = c - \sum_{i=1}^2\lambda_i\left( \frac{p_i^2}{4\lambda_i^2}\right)^2$

luego tenemos a $$h(z) = \sum_{i=1}^2 \lambda_i z_i^2 + q$$

Deben ser fáciles de reconocer el contorno de $h$ se compone de puntos suspensivos. De la variable $y$ a $z$ lo que sucede es una traducción. De la variable $x$ a $y$, la transformación es una matriz ortogonal de la multiplicación, es sólo una rotación / reflexión. Por lo tanto $f$ contornos se compone de puntos suspensivos.

Un análisis Similar puede ser repetido siempre y cuando ninguno de los $\lambda_i$ son cero.

En el indefinido y no singular caso, uno de los autovalor es positivo y uno de los autovalor es positivo. Por el mismo argumento, nos damos cuenta de que las líneas de contorno se compone de una hipérbola.

Si $A=0$ e $b=0$ entonces $f$ es una constante.

Si $A=0$ e $b \ne 0$,, a continuación, $f$ es lineal y el contorno consta de rectas paralelas.

Si consideramos el caso donde $A$ es distinto de cero, positiva semidefinite pero no positiva definida, entonces uno de los autovalor, $\lambda_1$ es positivo y el otro es $\lambda_2=0$.

A continuación, $$g(y) = \lambda_1y_1^2+p_1y_1+p_2y_2+c$$

También, $Ax+b=0$ se $UDU^Tx + b=0$, lo que equivale a $DU^Tx +U^Tb=0$ es $\lambda_1 y_1 + p_1 =0$ e $0=p_2$. Por lo tanto, si el sistema de $Ax+b=0$ es consistente y sólo si $p_2=0$.

Si $Ax+b=0$ es consistente, es decir, si $p_2=0$, entonces nuestra función de $g$ es $$g(y) = \lambda_1y_1^2+p_1y_1+c$$

Es independiente de $y_2$ y el aviso de que tiene múltiples mínimo global de la forma de $(y_1^*, y_2)$. Las curvas de nivel son líneas rectas paralelas a la $y_2$-eje.

Si $Ax+b=0$ no es consistente, es decir, si $p_2 \ne 0$, entonces nuestra función es $$g(y) = \lambda_1y_1^2+p_1y_1+p_2y_2+c$$

y desde $p_2 \ne 0$, las líneas de contorno se compone de las parábolas.

Fuente de imagen puede ser encontrado aquí