$G$ es característicamente simple$\iff$ hay simple$T$ tal que$G \cong T\times T \times \cdots \times T$

Question

Sea$G$ un grupo finito característicamente simple, es decir, no tiene subgrupos de características no triviales. Demuestre que hay un grupo simple$T$ tal que$G \cong T \times T \times \cdots \times T$.

No tengo idea de cómo empezar este. He intentado inducir en el tamaño de$G$ en vano. ¡Cualquier ayuda sería apreciada!

Answer 1

Sugerencias:

Podemos suponer $\;G\;$ tiene un no-trivial subgrupo normal , de lo contrario el reclamo de la siguiente manera a la vez.

Desde $\;G\;$ es finito, elija un mínimo no trivial $\;N\lhd G\;$, y mirar

$$\;M:=\langle\;N^\phi\;:\;\;\phi\in\text{Aut}\,(G)\;\rangle$$

Probar ahora que $\;G\;$ es el producto directo de algunas de las $\;N^\phi$'s .

Descargo de responsabilidad: La única prueba de la anterior sé que está aplicando el Lema de Zorn en el set de $\;N^\phi$'s de la generación de su propio producto directo. A mí me parece raro el uso de esta poderosa arma con un grupo finito, pero no puedo ver ahora una manera de salir de ella.