¿Qué significa la siguiente declaración?

Question

Si$\mu(A) <\infty $, entonces desde casi todas partes la convergencia sigue la convergencia en la medida. No entiendo qué significa la "convergencia en la medida". Esperando tu explicación.

Estoy tratando de entender la proposición 2 del siguiente enlace: http://medvegyev.uni-corvinus.hu/CeuAdv2.pdf .

Gracias.

Answer 1

Se dice que una secuencia de funciones de $f_{n}:A\to \mathbb{R}$ converge a una función de $f:A\to\mathbb{R}$ en medir, si para cada $\varepsilon>0$ hemos \begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\mu(\{x\in A:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon\})=0. \end{ecuación*} Así que la declaración dice que si $\mu(A)<\infty$ luego de un.e. la convergencia implica la convergencia en la medida de como se definió anteriormente.

Edit: no me fijé en cada detalle de la prueba de que usted dio, pero aquí está una manera simple de ver mediante el uso de Fatou inversa del Lema para medir los conjuntos, lo que requiere de la finitud de $\mu(A)$ desde su prueba utiliza la convergencia de medida para la disminución de la secuencia de conjuntos. Tenga en cuenta que \begin{align*} \{x\in A:\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=f(x)\} &=\{x\in A:\forall n\in\mathbb{N}\exists m\in\mathbb{N}\,\,s.t.\,\,\forall i\geq m\,\,|f_{i}(x)-f(x)|\leq \frac{1}{n}\}\\ &=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{i\geq m}\{x\in A:|f_{i}(x)-f(x)|\leq \frac{1}{n}\}. \end{align*} Así que si $f_{n}\to f$ a.e. entonces el complemento del anterior conjunto tiene medida cero, de donde por de morgan de la ley \begin{align*} 0 &=\mu\Big(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{i\geq m}\{x\in A:|f_{i}(x)-f(x)|> \frac{1}{n}\}\Big) \overset{\forall n\in\mathbb{N}}{\geq}\mu\Big(\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{i\geq m}\{x\in A:|f_{i}(x)-f(x)|> \frac{1}{n}\}\Big) \\ &=\mu\Big(\limsup_{i\to\infty}\{x\in A:|f_{i}(x)-f(x)|> \frac{1}{n}\}\Big)\overset{Fatou}{\geq} \limsup_{i\to\infty}\,\mu(\{x\in A:|f_{i}(x)-f(x)|> \frac{1}{n}\}) \\ &\geq \liminf_{i\to\infty}\,\mu(\{x\in A:|f_{i}(x)-f(x)|> \frac{1}{n}\})\geq 0. \end{align*} Así que en realidad tiene una igualdad en todas partes, y en particular \begin{equation*} \lim_{i\to\infty}\mu(\{x\in A:|f_{i}(x)-f(x)|>\frac{1}{n}\})=0 \end{ecuación*} para todos los $n\in\mathbb{N}$, del que se desprende que $f_{n}\to f$ en la medida.

Answer 2

La proposición dice que si $(X,\mu)$ es una medida de espacio, y $\mu(X)$ es finito, entonces:

Siempre que $f_n$ es una secuencia de las funciones con valores reales tales que para casi todos los $x\in X$ tenemos $\lim f_n(x)=f(x)$ para algunos $f$,

A continuación, para cada $\varepsilon>0$ la medida de los conjuntos de $E_n=\left\{x\in X: |f_n(x)-f(x)|>\varepsilon\right\}$ enfoque de cero, que es $\lim\limits_n\mu(E_n)=0$.

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El primer tipo de convergencia se llama "casi en todas partes convergencia" y el segundo tipo se denomina "convergencia en medida". La proposición nos dice que para finito de medir los espacios de una implica la otra.